与えられた4つの式を因数分解する問題です。特に(3)と(4)については途中経過も記述する必要があります。

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。特に(3)と(4)については途中経過も記述する必要があります。

2. 解き方の手順

(1) $x^3 + 27$

これは、$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$の公式を利用します。$27 = 3^3$なので、

$x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)$

(2) $125x^3 - 8$

これも、$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$の公式を利用します。$125x^3 = (5x)^3$、 $8=2^3$なので、

$125x^3 - 8 = (5x)^3 - 2^3 = (5x-2)((5x)^2 + (5x)(2) + 2^2) = (5x-2)(25x^2+10x+4)$

(3) $x^6 - y^6$

これは、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$と$a^3 \pm b^3$の公式を組み合わせて利用します。

まず、$x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 + y^3)(x^3 - y^3)$

次に、$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$、 $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$なので、

$x^6 - y^6 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)(x-y)(x^2 + xy + y^2) = (x+y)(x-y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

順序を整理すると、

$x^6 - y^6 = (x-y)(x+y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$

(4) $x^6 + 7x^3y^3 - 8y^6$

$x^3 = X$, $y^3=Y$とおくと、$X^2 + 7XY - 8Y^2$となります。

これを因数分解すると、$X^2 + 7XY - 8Y^2 = (X+8Y)(X-Y)$

$X, Y$ を元に戻すと、 $(x^3 + 8y^3)(x^3 - y^3)$となります。

$x^3 + 8y^3 = x^3 + (2y)^3 = (x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$

$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$

したがって、$x^6 + 7x^3y^3 - 8y^6 = (x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)(x-y)(x^2 + xy + y^2) = (x-y)(x+2y)(x^2+xy+y^2)(x^2-2xy+4y^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+3)(x^2-3x+9)$

(2) $(5x-2)(25x^2+10x+4)$

(3) $(x-y)(x+y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$

(4) $(x-y)(x+2y)(x^2+xy+y^2)(x^2-2xy+4y^2)$