4次正方行列 $A, B$ について、以下の条件が与えられている。 $|BA| = \frac{1}{8}, |2B| = 1$ このとき、$|A^{-1}|$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

4次正方行列 $A, B$ について、以下の条件が与えられている。

$|BA| = \frac{1}{8}, |2B| = 1$

このとき、$|A^{-1}|$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、行列式の性質を利用して、$|2B|$ を変形する。$B$ は4次正方行列であるから、

$|2B| = 2^4 |B| = 16|B|$.

条件より、$|2B| = 1$ なので、

$16|B| = 1$

$|B| = \frac{1}{16}$.

次に、$|BA|$ の値を $|B|$ を用いて表す。行列式の積の性質より、

$|BA| = |B||A|$.

条件より、$|BA| = \frac{1}{8}$ なので、

$|B||A| = \frac{1}{8}$.

$|B| = \frac{1}{16}$ を代入すると、

$\frac{1}{16}|A| = \frac{1}{8}$.

$|A| = \frac{1}{8} \times 16 = 2$.

最後に、$|A^{-1}|$ を求める。行列式の性質より、

$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$.

$|A| = 2$ を代入すると、

$|A^{-1}| = \frac{1}{2}$.

3. 最終的な答え

$|A^{-1}| = \frac{1}{2}$