問題は2つあります。 (1) 行列 $A$ の行列式を、$A$ の成分と余因子を用いて展開する式を書く。 (2) $4$ 次正方行列 $A, B$ に対して、$BA$ が正則ならば、$A, B$ はどちらも正則であることを示す。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 行列 $A$ の行列式を、$A$ の成分と余因子を用いて展開する式を書く。

(2) $4$ 次正方行列 $A, B$ に対して、$BA$ が正則ならば、$A, B$ はどちらも正則であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の行列式は、ある行または列を選び、その行（または列）の各成分と、その成分に対応する余因子の積の和として計算できます。

$A$ を $n \times n$ 行列とし、$a_{ij}$ を $A$ の $i$ 行 $j$ 列の成分とします。$C_{ij}$ を $a_{ij}$ の余因子とします。

行列式 $\det(A)$ は、第 $i$ 行に関して展開すると次のようになります。

$\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij}$

また、行列式 $\det(A)$ は、第 $j$ 列に関して展開すると次のようになります。

$\det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij}$

(2) $BA$ が正則であると仮定します。つまり、$BA$ は逆行列を持ちます。

したがって、$\det(BA) \neq 0$ が成り立ちます。行列式の性質より、$\det(BA) = \det(B) \det(A)$ です。

したがって、$\det(B) \det(A) \neq 0$ が成り立ちます。

$\det(B) \det(A) \neq 0$ であるためには、$\det(B) \neq 0$ かつ $\det(A) \neq 0$ でなければなりません。

$\det(A) \neq 0$ であることは、$A$ が正則であることと同値です。

同様に、$\det(B) \neq 0$ であることは、$B$ が正則であることと同値です。

したがって、$BA$ が正則ならば、$A$ と $B$ はどちらも正則です。

3. 最終的な答え

(1) 行列 $A$ の行列式を展開する式は次の通りです。

$\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij}$ （第 $i$ 行に関して展開）

$\det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij}$ （第 $j$ 列に関して展開）

(2) $4$ 次正方行列 $A, B$ に対して、$BA$ が正則ならば、$A, B$ はどちらも正則である。 (証明完了)