円の中心Oを持つ円があり、円の内部に点Pがあります。線分APの長さは5、線分CPの長さは7、線分PDの長さは3です。線分OPの長さ$x$を求めます。

## 問題の解き方 (1)

1. 問題の内容

円の中心Oを持つ円があり、円の内部に点Pがあります。線分APの長さは5、線分CPの長さは7、線分PDの長さは3です。線分OPの長さ$x$を求めます。

2. 解き方の手順

点Oが円の中心なので、OA, OC, ODは円の半径です。OA = OD なので、半径をRとおくと、

$OA = OD = R$。

また、

$AP + PO = OA$

$DO - PO = PD$

が成り立ちます。従って、

$5 + x = R$

$R - x = 3$

という関係が得られます。この二つの式からRを消去して$x$を求めます。具体的には、一つ目の式から $R = 5+x$ を得て、これを二つ目の式に代入すると、$5+x - x = 3$ となり、$x$は消えてしまいます。そのため、別の方法を考える必要があります。

点Bを通るように円を拡張し、線分ABと線分CDの交点をPとすると、方べきの定理より

$AP \cdot PB = CP \cdot PD$

が成り立ちます。点Oは円の中心なので、ADは円の直径です。

したがって、$OA = OD$ であり、$OA = 5+x$、$OD = x+3$となるから、これは間違いです。

$AP \cdot PB = CP \cdot PD$は点Pが円の内部にある場合、$AP \cdot PB = CP \cdot DP$という形になります。この問題では、

$AP = 5$, $CP = 7$, $PD = 3$ であり、直径は$5+x+3+x = 8+2x$。半径は$4+x$。

したがって、$OC=4+x$なので、$OC = 7+OP = 7+x$は間違いです。

円の半径を$r$とします。すると、

$AO = DO = r$

$AP + PO = AO$なので、$5 + x = r$

$DO = DP + PO$なので、$r = 3 + x$です。

これは$AO=r$の間違いです。

円Oの中心から弦AB, CDにそれぞれ垂線を下ろし、その足をE, Fとする。

$AP \cdot PB = CP \cdot PD$が成り立つ。

$AP = 5$

$CP = 7$

$PD = 3$

$PB = ?$

半径を$R$とすると、$R = 5 + x$、$OD = 3+x$だから、$OA = 5 +x$

方べきの定理より、$AP \cdot PB = CP \cdot PD$

ここで、$AP = 5, CP = 7, PD = 3$だから、$5 \cdot PB = 7 \cdot 3$

$5 \cdot PB = 21$

$PB = 21/5$

$AB = AP + PB = 5 + \frac{21}{5} = \frac{25+21}{5} = \frac{46}{5}$

直径は $\frac{46}{5}$

半径は $\frac{23}{5}$

$AO = \frac{23}{5} = 5 + x$

$x = \frac{23}{5} - 5 = \frac{23 - 25}{5} = - \frac{2}{5}$

これはおかしいので、計算が間違っている。

$AP \cdot PB = CP \cdot DP$

$5 \cdot PB = 7 \cdot 3 = 21$

$PB = \frac{21}{5}$

$OP \cdot OE = OP \cdot OF$

方べきの定理を使う。$5 (x+3+x+5) = 7 \cdot 3$は間違い。

方べきの定理より $AP \cdot PB = CP \cdot DP$. $AP = 5, CP = 7, DP = 3$。 $PB = DB - DP$.

$AP \cdot PB = 5 PB = 7 \times 3 = 21$. したがって $PB = 21/5 = 4.2$.

$DB = DP + PB = 3 + 4.2 = 7.2$.

すると, $OB = OA$. つまり, $x + 5 = OB = 3 + x$. これは成り立たない。

**方べきの定理の間違いに気づきました。方べきの定理は、円の内部の点に対しては、$AP \times PB = CP \times PD$ が成り立ちます。**

しかし、今回の問題では、OPの長さ$x$を求める必要があるので、別の方法を考えなければいけません。

3. 最終的な答え

申し訳ありませんが、この問題は情報が不足しているか、問題の設定に誤りがある可能性があります。現時点では、$x$の値を一意に決定できません。

## 問題の解き方 (2)

1. 問題の内容

円があり、円の外部に点Pがあります。点Pから円に接線PAを引き、PAの長さは$x$です。また、点Pから円と交わる直線を引き、その交点をC, Dとします。PCの長さは4, CDの長さは2, AB = 5です。$x$を求めます。

2. 解き方の手順

方べきの定理より、接線PAと割線PCDについて

$PA^2 = PC \cdot PD$

が成り立ちます。ここで、$PA = x, PC = 4, PD = PC + CD = 4 + 2 = 6$ なので、

$x^2 = 4 \cdot 6$

$x^2 = 24$

$x = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$x = 2\sqrt{6}$