4次正方行列 $A, B$ について、$|BA| = \frac{1}{8}$ かつ $|2B| = 1$ が成り立つとき、$|A^{-1}|$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

4次正方行列 $A, B$ について、$|BA| = \frac{1}{8}$ かつ $|2B| = 1$ が成り立つとき、$|A^{-1}|$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、行列式の性質 $|XY| = |X||Y|$ を用います。

$|BA| = |B||A| = \frac{1}{8}$

次に、$|2B|$ を計算します。$B$ は4次正方行列なので、スカラー倍の行列式の性質 $|kX| = k^n|X|$ (ここで$n$は行列のサイズ)を利用します。

$|2B| = 2^4|B| = 16|B| = 1$

したがって、$|B| = \frac{1}{16}$

$|B||A| = \frac{1}{8}$に$|B| = \frac{1}{16}$を代入すると、

$\frac{1}{16}|A| = \frac{1}{8}$

$|A| = \frac{1}{8} \times 16 = 2$

$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ より、

$|A^{-1}| = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$|A^{-1}| = \frac{1}{2}$