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$\tan \theta = \sqrt{3} - 2$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

解析学三角関数相互関係式二重根号
2025/4/5

1. 問題の内容

tan⁡θ=3−2\tan \theta = \sqrt{3} - 2 のとき、sin⁡θ\sin \theta と cos⁡θ\cos \theta の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、tan⁡θ\tan \theta の値からcos⁡θ\cos \thetaの値を求めることを考えます。
三角関数の相互関係式
1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}
を利用します。この式に tan⁡θ=3−2\tan \theta = \sqrt{3} - 2 を代入します。
1+(3−2)2=1cos⁡2θ1 + (\sqrt{3} - 2)^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}
1+(3−43+4)=1cos⁡2θ1 + (3 - 4\sqrt{3} + 4) = \frac{1}{\cos^2 \theta}
1+7−43=1cos⁡2θ1 + 7 - 4\sqrt{3} = \frac{1}{\cos^2 \theta}
8−43=1cos⁡2θ8 - 4\sqrt{3} = \frac{1}{\cos^2 \theta}
cos⁡2θ=18−43=14(2−3)=2+34(2−3)(2+3)=2+34(4−3)=2+34\cos^2 \theta = \frac{1}{8 - 4\sqrt{3}} = \frac{1}{4(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4(4 - 3)} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}
cos⁡θ=±2+34=±2+32\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \pm \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}
2+3\sqrt{2 + \sqrt{3}} の二重根号を外すことを考えます。
a+b=a+a2−b2+a−a2−b2\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}
この公式に a=2a=2, b=3b=3 を代入すると、
2+3=2+4−32+2−4−32=32+12=3+12\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{4 - 3}}{2}} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{4 - 3}}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}
よって、
cos⁡θ=±3+122=±6+24\cos \theta = \pm \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}}{2} = \pm \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
次に、tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} より、sin⁡θ=tan⁡θcos⁡θ\sin \theta = \tan \theta \cos \theta を計算します。
sin⁡θ=(3−2)(±6+24)=±(3−2)(6+2)4=±18+6−26−224=±32−6−224=±2−64\sin \theta = (\sqrt{3} - 2) \left( \pm \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \right) = \pm \frac{(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \pm \frac{\sqrt{18} + \sqrt{6} - 2\sqrt{6} - 2\sqrt{2}}{4} = \pm \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6} - 2\sqrt{2}}{4} = \pm \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}
tan⁡θ=3−2<0\tan \theta = \sqrt{3} - 2 < 0 であるから、sin⁡θ\sin \theta と cos⁡θ\cos \theta は異符号となります。
2−64<0\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} < 0、6+24>0\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} > 0 より、
cos⁡θ=6+24\cos \theta = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} のとき sin⁡θ=2−64\sin \theta = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}
cos⁡θ=−6+24\cos \theta = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} のとき sin⁡θ=−2−64=6−24\sin \theta = -\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

3. 最終的な答え

cos⁡θ=6+24\cos \theta = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, sin⁡θ=2−64\sin \theta = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}
または
cos⁡θ=−6+24\cos \theta = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, sin⁡θ=6−24\sin \theta = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

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