$\tan \theta = \sqrt{3} - 2$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\tan \theta = \sqrt{3} - 2$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\tan \theta$ の値から$\cos \theta$の値を求めることを考えます。

三角関数の相互関係式

$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

を利用します。この式に $\tan \theta = \sqrt{3} - 2$ を代入します。

$1 + (\sqrt{3} - 2)^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$1 + (3 - 4\sqrt{3} + 4) = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$1 + 7 - 4\sqrt{3} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$8 - 4\sqrt{3} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{8 - 4\sqrt{3}} = \frac{1}{4(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4(4 - 3)} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \pm \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

$\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ の二重根号を外すことを考えます。

$\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$

この公式に $a=2$, $b=3$ を代入すると、

$\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{4 - 3}}{2}} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{4 - 3}}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}$

よって、

$\cos \theta = \pm \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}}{2} = \pm \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ より、$\sin \theta = \tan \theta \cos \theta$ を計算します。

$\sin \theta = (\sqrt{3} - 2) \left( \pm \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \right) = \pm \frac{(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \pm \frac{\sqrt{18} + \sqrt{6} - 2\sqrt{6} - 2\sqrt{2}}{4} = \pm \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6} - 2\sqrt{2}}{4} = \pm \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

$\tan \theta = \sqrt{3} - 2 < 0$ であるから、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ は異符号となります。

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} < 0$、$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} > 0$ より、

$\cos \theta = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ のとき $\sin \theta = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ のとき $\sin \theta = -\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$, $\sin \theta = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

または

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$, $\sin \theta = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$