三角形ABCにおいて、$c=\sqrt{2}$, $B=60^\circ$, $C=45^\circ$であるとき、辺ACの長さ$b$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$c=\sqrt{2}$, $B=60^\circ$, $C=45^\circ$であるとき、辺ACの長さ$b$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は$180^\circ$なので、角Aを求める。

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$

次に、正弦定理を用いる。正弦定理は

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

である。

与えられた情報から$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$を利用すると、

$\frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$を代入すると、

$\frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$b = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}$