三角形ABCにおいて、AB=2, BC=$3\sqrt{2}$, cosB=$\frac{\sqrt{2}}{3}$である。辺BC上にAB=ADとなるように点Dをとる。 (i) sinBの値を求めよ。 (ii) ACの長さを求めよ。 (iii) 三角形ACDの外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=2, BC=$3\sqrt{2}$, cosB=$\frac{\sqrt{2}}{3}$である。辺BC上にAB=ADとなるように点Dをとる。

(i) sinBの値を求めよ。

(ii) ACの長さを求めよ。

(iii) 三角形ACDの外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) sinBの値を求める。

三角関数の相互関係より、

$sin^2B + cos^2B = 1$

$sin^2B = 1 - cos^2B$

$sin^2B = 1 - (\frac{\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$

$sinB = \pm \sqrt{\frac{7}{9}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{3}$

$0 < B < \pi$ より、sinB > 0 なので、

$sinB = \frac{\sqrt{7}}{3}$

(ii) ACの長さを求める。

余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cosB$

$AC^2 = 2^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

$AC^2 = 4 + 18 - 8 = 14$

$AC = \sqrt{14}$

(iii) 三角形ACDの外接円の半径を求める。

AD = AB = 2

BD = $\sqrt{2}$ なので、DC = BC - BD = $3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

三角形ABDは二等辺三角形なので、$\angle BAD = \pi - 2B$

また、$\angle ADC = \angle ABD = B$

$\angle DAC = \pi - \angle ADC - \angle ACD = \pi - B - \angle ACD$

$\angle BAC = \angle BAD + \angle DAC = (\pi - 2B) + (\pi - B - \angle ACD) = 2\pi - 3B - \angle ACD$

$\angle CAD = \angle BAC - (\pi - 2B) = B - \angle ACB$

正弦定理より、三角形ACDの外接円の半径をRとすると、

$\frac{AC}{sin(\angle ADC)} = 2R$

$\frac{\sqrt{14}}{sinB} = 2R$

$2R = \frac{\sqrt{14}}{\frac{\sqrt{7}}{3}} = \frac{3\sqrt{14}}{\sqrt{7}} = 3\sqrt{2}$

$R = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(i) $sinB = \frac{\sqrt{7}}{3}$

(ii) $AC = \sqrt{14}$

(iii) $\frac{3\sqrt{2}}{2}$