与えられた関数の積分を求める問題です。積分する関数は $\frac{1 + \tan x}{\tan x}$ です。

1. 問題の内容

与えられた関数の積分を求める問題です。積分する関数は $\frac{1 + \tan x}{\tan x}$ です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を分解します。

$\frac{1 + \tan x}{\tan x} = \frac{1}{\tan x} + \frac{\tan x}{\tan x} = \frac{1}{\tan x} + 1 = \cot x + 1$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int \frac{1 + \tan x}{\tan x} dx = \int (\cot x + 1) dx = \int \cot x dx + \int 1 dx$

$\int \cot x dx$ は $\int \frac{\cos x}{\sin x} dx$ と書き換えられます。ここで、$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$ となるので、

$\int \cot x dx = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C_1 = \ln |\sin x| + C_1$

また、

$\int 1 dx = x + C_2$

したがって、

$\int (\cot x + 1) dx = \ln |\sin x| + x + C$ (ただし、$C = C_1 + C_2$ は積分定数)

3. 最終的な答え

$\ln |\sin x| + x + C$