三角形の3辺の長さが $a=1$, $b=\sqrt{5}$, $c=\sqrt{2}$ であるとき、$\cos B$ の値と角 $B$ の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形の3辺の長さが $a=1$, $b=\sqrt{5}$, $c=\sqrt{2}$ であるとき、$\cos B$ の値と角 $B$ の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

余弦定理を利用して $\cos B$ の値を求めます。余弦定理より、

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

この式を変形すると、

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

与えられた値を代入すると、

$\cos B = \frac{1^2 + (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2}{2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1 + 2 - 5}{2\sqrt{2}} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos B = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる角 $B$ を求めます。$0^\circ < B < 180^\circ$ の範囲で考えると、$B = 135^\circ$ です。

3. 最終的な答え

$\cos B = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$B = 135^\circ$