円に内接する正六角形ABCDEFがある。$\angle ABC$ の角度 $x$ を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する正六角形ABCDEFがある。$\angle ABC$ の角度 $x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

正六角形ABCDEFは円に内接している。

正六角形の中心をOとする。

正六角形の1つの内角は、

$\frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 4 \times 30^\circ = 120^\circ$

である。

$\angle BAC$ は円周角であり、中心角 $\angle BOC$ の半分である。

正六角形の中心角は $\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$ である。

$\angle BOC = 60^\circ$ なので、$\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ$ である。

$\angle BCD$ は円周角であり、中心角 $\angle BOD$ の半分である。

$\angle BOD = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$ なので、$\angle BCD = \frac{1}{2} \angle BOD = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$ である。

四角形ABCDの内角の和は360度なので、

$\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^\circ$

$\angle ABC = x$ である。

$\angle BCD = 60^\circ$

$\angle CDA$ は正六角形の内角なので $120^\circ$である。

$\angle DAB = \angle DAC + \angle CAB$

$\angle CAB = 30^\circ$

$\angle DAC$ は円周角であり、中心角 $\angle DOC$ の半分である。

$\angle DOC = 60^\circ$ なので、$\angle DAC = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ$である。

$\angle DAB = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$

したがって、

$x + 60^\circ + 120^\circ + 60^\circ = 360^\circ$

$x + 240^\circ = 360^\circ$

$x = 360^\circ - 240^\circ$

$x = 120^\circ$

3. 最終的な答え

120°