放射性物質の時刻 $t$ における質量 $x = x(t)$ が微分方程式 $\frac{dx}{dt} = -kx$ （$k > 0$ は定数）に従って変化している。初期条件は $x(0) > 0$。この物質の半減期を $T$ とするとき、$x(T_1)/x(0) = 1/32$ を満たす $T_1$ に対して、$T_1/T$ を求めよ。

1. 問題の内容

放射性物質の時刻 $t$ における質量 $x = x(t)$ が微分方程式 $\frac{dx}{dt} = -kx$ （$k > 0$ は定数）に従って変化している。初期条件は $x(0) > 0$。この物質の半減期を $T$ とするとき、$x(T_1)/x(0) = 1/32$ を満たす $T_1$ に対して、$T_1/T$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、微分方程式 $\frac{dx}{dt} = -kx$ を解きます。

これは変数分離形なので、

$\frac{dx}{x} = -k dt$

両辺を積分すると、

$\int \frac{dx}{x} = \int -k dt$

$\ln|x| = -kt + C$ （$C$ は積分定数）

$x = e^{-kt + C} = e^C e^{-kt} = A e^{-kt}$ （$A = e^C$ は定数）

初期条件 $x(0) > 0$ より、$x(0) = A e^{-k \cdot 0} = A$。

したがって、$x(0) = A$ であり、$x(t) = x(0) e^{-kt}$ となります。

次に、半減期の定義から、$x(T) = \frac{1}{2} x(0)$ が成り立ちます。

よって、$\frac{1}{2} x(0) = x(0) e^{-kT}$ となり、

$\frac{1}{2} = e^{-kT}$

両辺の対数をとると、

$\ln(\frac{1}{2}) = -kT$

$-\ln 2 = -kT$

$kT = \ln 2$

$T = \frac{\ln 2}{k}$

次に、$x(T_1) = \frac{1}{32} x(0)$ より、

$\frac{1}{32} x(0) = x(0) e^{-kT_1}$

$\frac{1}{32} = e^{-kT_1}$

両辺の対数をとると、

$\ln(\frac{1}{32}) = -kT_1$

$\ln(2^{-5}) = -kT_1$

$-5 \ln 2 = -kT_1$

$kT_1 = 5 \ln 2$

$T_1 = \frac{5 \ln 2}{k}$

最後に、$\frac{T_1}{T}$ を求めます。

$\frac{T_1}{T} = \frac{\frac{5 \ln 2}{k}}{\frac{\ln 2}{k}} = \frac{5 \ln 2}{\ln 2} = 5$

3. 最終的な答え

$T_1/T = 5$