与えられたポテンシャルから、それぞれの場合の保存力を求めよ。 (1) $\phi(r) = -G\frac{Mm}{r}$ (2) $\phi(x, y, z) = -G\frac{Mm}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$ (3) $\phi(x) = \frac{1}{2}kx^2$ (k は定数) (4) $\phi(x) = \frac{1}{2}k(x^2 + y^2 + z^2)$ (k は定数)

1. 問題の内容

与えられたポテンシャルから、それぞれの場合の保存力を求めよ。

(1) $\phi(r) = -G\frac{Mm}{r}$

(2) $\phi(x, y, z) = -G\frac{Mm}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$

(3) $\phi(x) = \frac{1}{2}kx^2$ (k は定数)

(4) $\phi(x) = \frac{1}{2}k(x^2 + y^2 + z^2)$ (k は定数)

2. 解き方の手順

保存力 $\vec{F}$ は、ポテンシャル $\phi$ を用いて以下の式で表されます。

$\vec{F} = -\nabla \phi$

ここで、$\nabla$ はナブラ演算子であり、デカルト座標系では $\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)$ です。

(1) $\phi(r) = -G\frac{Mm}{r}$ の場合：

この場合は球座標系で考えるのが適切です。球座標系における勾配は次のようになります。

$\nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial r} \hat{r} + \frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta} \hat{\theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi} \hat{\varphi}$

$\phi$ は $r$ のみ依存するため、

$\vec{F} = -\frac{\partial \phi}{\partial r} \hat{r}$

$\frac{\partial \phi}{\partial r} = \frac{GMm}{r^2}$

$\vec{F} = -\frac{GMm}{r^2}\hat{r}$

(2) $\phi(x, y, z) = -G\frac{Mm}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$ の場合：

$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ とおくと、$\phi = -G\frac{Mm}{r}$ となり、(1) と同様に

$\vec{F} = -\nabla \phi = - \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right)$

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = GMm \frac{x}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = GMm \frac{y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}$

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = GMm \frac{z}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}$

$\vec{F} = -GMm \left( \frac{x}{r^3}, \frac{y}{r^3}, \frac{z}{r^3} \right) = -GMm \frac{\vec{r}}{r^3}$

(3) $\phi(x) = \frac{1}{2}kx^2$ の場合：

$\vec{F} = -\nabla \phi = -\frac{\partial \phi}{\partial x} \hat{i} = -kx \hat{i}$

(4) $\phi(x, y, z) = \frac{1}{2}k(x^2 + y^2 + z^2)$ の場合：

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = kx$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = ky$

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = kz$

$\vec{F} = -(kx, ky, kz) = -k(x, y, z)$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{F} = -\frac{GMm}{r^2}\hat{r}$

(2) $\vec{F} = -GMm \frac{(x, y, z)}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}$

(3) $\vec{F} = -kx \hat{i}$

(4) $\vec{F} = -k(x, y, z)$