* (1) ベクトル場 $\vec{A}$ の様子を図示して説明します。 * (2) 原点を中心とする半径 $a$ の球面上で、面積要素 $d\vec{S}$ と $\vec{A}$ の内積 $\vec{A} \cdot d\vec{S}$ を求めます。 * (3) 半径 $a$ の球面 $S$ 上で、積分 $\int_S \vec{A} \cdot d\vec{S}$ を求めます。

はい、承知しました。問題文を理解し、丁寧に解答を作成します。

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1. 問題の内容**

与えられたベクトル場、位置ベクトル、および電束密度に関する問題です。

1. ベクトル場 $\vec{A} = k \frac{\vec{r}}{r^3}$ (kは定数) について:

* (1) ベクトル場 $\vec{A}$ の様子を図示して説明します。

* (2) 原点を中心とする半径 $a$ の球面上で、面積要素 $d\vec{S}$ と $\vec{A}$ の内積 $\vec{A} \cdot d\vec{S}$ を求めます。

* (3) 半径 $a$ の球面 $S$ 上で、積分 $\int_S \vec{A} \cdot d\vec{S}$ を求めます。

2. 位置ベクトル $\vec{r} = (x, y, z)$, $r = |\vec{r}|$ について:

* (1) 閉曲面 $S$ で囲まれた領域の体積を $V$ とするとき、$\int_S \vec{r} \cdot d\vec{S}$ を計算します。

* (2) $\int_S \frac{\vec{r}}{r^2} \cdot d\vec{S} = \int_V \frac{1}{r^2} dV$ が成り立つことを示します。

3. 電荷密度 $\rho$ とベクトル場 $\vec{D}$ の間に $\nabla \cdot \vec{D} = \rho$ の関係があるとき:

* (1) $\vec{D} = (8 + x^3y^2, -y^2, -z^2)$ のとき、$-1 \leq x, y, z \leq 1$ の立方体に含まれる総電荷 $Q$ を求めます。

* (2) $\vec{D} = k(x, y, z)$ (kは定数) のとき、半径 $a$ の球内に含まれる総電荷 $Q$ を求めます。

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2. 解き方の手順**

1. **ベクトル場 $\vec{A}$ について**

* (1) ベクトル場 $\vec{A}$ は、原点から遠ざかる方向に伸びるベクトルで、その大きさは距離の3乗に反比例します。原点付近ではベクトルは非常に大きく、遠ざかるにつれて小さくなります。図示する際は、原点から放射状に伸びる矢印を描き、矢印の長さを距離に応じて変えることで表現します。

* (2) 球面上の法線ベクトル $d\vec{S}$ は、$\vec{r}/r \cdot dS$ と表せます。ここで $dS$ は微小面積です。$\vec{A} \cdot d\vec{S} = k \frac{\vec{r}}{r^3} \cdot \frac{\vec{r}}{r} dS = k \frac{r^2}{r^4} dS = \frac{k}{r^2} dS$。球面 $S$ 上では $r = a$ であるため、$\vec{A} \cdot d\vec{S} = \frac{k}{a^2} dS$となります。

* (3) $\int_S \vec{A} \cdot d\vec{S} = \int_S \frac{k}{a^2} dS = \frac{k}{a^2} \int_S dS$。球の表面積は $4\pi a^2$ なので、$\int_S \vec{A} \cdot d\vec{S} = \frac{k}{a^2} (4\pi a^2) = 4\pi k$となります。

2. **位置ベクトル $\vec{r}$ について**

* (1) 発散定理より、$\int_S \vec{r} \cdot d\vec{S} = \int_V (\nabla \cdot \vec{r}) dV$。$\nabla \cdot \vec{r} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3$なので、$\int_S \vec{r} \cdot d\vec{S} = \int_V 3 dV = 3V$となります。

* (2) $\frac{\vec{r}}{r^2}$に対して、ガウスの法則を使います。$\int_S \frac{\vec{r}}{r^2} \cdot d\vec{S} = \int_V \nabla \cdot (\frac{\vec{r}}{r^2}) dV$。ここで、$\nabla \cdot (\frac{\vec{r}}{r^2}) = \frac{1}{r^2}$ であることを示します。

* $\nabla \cdot (\frac{\vec{r}}{r^2}) = \frac{1}{r^2} \nabla \cdot \vec{r} + \vec{r} \cdot \nabla (\frac{1}{r^2})$

* $\nabla \cdot \vec{r} = 3$

* $\nabla (\frac{1}{r^2}) = -\frac{2}{r^3} \frac{\vec{r}}{r} = -\frac{2\vec{r}}{r^4}$

* $\vec{r} \cdot \nabla (\frac{1}{r^2}) = -\frac{2r^2}{r^4} = -\frac{2}{r^2}$

* したがって、$\nabla \cdot (\frac{\vec{r}}{r^2}) = \frac{3}{r^2} - \frac{2}{r^2} = \frac{1}{r^2}$.

* よって、$\int_S \frac{\vec{r}}{r^2} \cdot d\vec{S} = \int_V \frac{1}{r^2} dV$ が成り立ちます。

3. **電荷密度 $\rho$ とベクトル場 $\vec{D}$ について**

* (1) $\rho = \nabla \cdot \vec{D} = \frac{\partial}{\partial x}(8 + x^3y^2) + \frac{\partial}{\partial y}(-y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(-z^2) = 3x^2y^2 - 2y - 2z$。

総電荷 $Q = \int_V \rho dV = \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} (3x^2y^2 - 2y - 2z) dx dy dz$。

$Q = \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} [x^3y^2]_{-1}^{1} - 2y[x]_{-1}^{1} - 2z[x]_{-1}^{1} dy dz = \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} 2y^2 - 4y - 4z dy dz$。

$Q = \int_{-1}^{1} [\frac{2}{3}y^3 - 2y^2 - 4zy]_{-1}^{1} dz = \int_{-1}^{1} \frac{4}{3} - 8z dz = [\frac{4}{3}z - 4z^2]_{-1}^{1} = \frac{8}{3}$。

* (2) $\rho = \nabla \cdot \vec{D} = \frac{\partial}{\partial x}(kx) + \frac{\partial}{\partial y}(ky) + \frac{\partial}{\partial z}(kz) = k + k + k = 3k$。

総電荷 $Q = \int_V \rho dV = \int_V 3k dV = 3k \int_V dV$。球の体積は $\frac{4}{3}\pi a^3$ なので、$Q = 3k (\frac{4}{3}\pi a^3) = 4\pi ka^3$。

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3. 最終的な答え**

1. ベクトル場 $\vec{A}$ について

* (1) 図示は省略

* (2) $\vec{A} \cdot d\vec{S} = \frac{k}{a^2} dS$

* (3) $\int_S \vec{A} \cdot d\vec{S} = 4\pi k$

2. 位置ベクトル $\vec{r}$ について

* (1) $\int_S \vec{r} \cdot d\vec{S} = 3V$

* (2) (証明は上記参照) $\int_S \frac{\vec{r}}{r^2} \cdot d\vec{S} = \int_V \frac{1}{r^2} dV$

3. 電荷密度 $\rho$ とベクトル場 $\vec{D}$ について

* (1) $Q = \frac{8}{3}$

* (2) $Q = 4\pi ka^3$