効用関数 $U(x, y) = xy$、x財の価格 $P_x = 7$、y財の価格 $P_y = 3$、所得 $I = 168$ という条件のもとで、以下の問いに答える問題です。 (1) x=9, y=35のときの効用水準を計算する。 (2) 所得を全て使い切り、かつ(1)と同じ効用水準となる財の組み合わせを求める。 (3) (4) 予算制約線を図示するときの切片と傾きを求める。 (4) 限界代替率を定義し、x, yを用いて表現する。 (5) 最適消費点を求める。 (6) 所得が210に変化したときの最適消費点を求める。 (7) x財の価格が4に変化したときの最適消費点を求める。

1. 問題の内容

効用関数 $U(x, y) = xy$、x財の価格 $P_x = 7$、y財の価格 $P_y = 3$、所得 $I = 168$ という条件のもとで、以下の問いに答える問題です。

(1) x=9, y=35のときの効用水準を計算する。

(2) 所得を全て使い切り、かつ(1)と同じ効用水準となる財の組み合わせを求める。

(3) (4) 予算制約線を図示するときの切片と傾きを求める。

(4) 限界代替率を定義し、x, yを用いて表現する。

(5) 最適消費点を求める。

(6) 所得が210に変化したときの最適消費点を求める。

(7) x財の価格が4に変化したときの最適消費点を求める。

2. 解き方の手順

(1) 効用水準の計算

効用関数 $U(x, y) = xy$ に $x = 9$, $y = 35$ を代入します。

$U(9, 35) = 9 \times 35 = 315$

(2) 所得を全て使い切り、同じ効用水準となる組み合わせの計算

所得を全て使い切る条件：$7x + 3y = 168$

同じ効用水準の条件：$xy = 315$

$y = \frac{315}{x}$ を予算制約式に代入します。

$7x + 3(\frac{315}{x}) = 168$

$7x^2 + 945 = 168x$

$7x^2 - 168x + 945 = 0$

$x^2 - 24x + 135 = 0$

$(x - 9)(x - 15) = 0$

$x = 9$ または $x = 15$

$x=9$のとき、$y = \frac{315}{9} = 35$

$x=15$のとき、$y = \frac{315}{15} = 21$

よって、$(x, y) = (15, 21)$

(3) (4) 予算制約線

予算制約式は $7x + 3y = 168$ です。

yについて解くと、$3y = -7x + 168$

$y = -\frac{7}{3}x + 56$

切片（y切片）：56

傾き：$-\frac{7}{3}$

(4) 限界代替率

限界代替率（MRS）は、x財の限界効用をy財の限界効用で割ったものです。

$MRS = \frac{MU_x}{MU_y}$

$MU_x = \frac{\partial U}{\partial x} = y$

$MU_y = \frac{\partial U}{\partial y} = x$

$MRS = \frac{y}{x}$

(5) 最適消費点の計算

予算制約式：$7x + 3y = 168$

限界代替率の条件：$MRS = \frac{P_x}{P_y}$

$\frac{y}{x} = \frac{7}{3}$

$3y = 7x$

$y = \frac{7}{3}x$

これを予算制約式に代入します。

$7x + 3(\frac{7}{3}x) = 168$

$7x + 7x = 168$

$14x = 168$

$x = 12$

$y = \frac{7}{3}(12) = 28$

よって、$(x, y) = (12, 28)$

(6) 所得が210に変化した場合の最適消費点の計算

予算制約式：$7x + 3y = 210$

$\frac{y}{x} = \frac{7}{3}$

$y = \frac{7}{3}x$

$7x + 3(\frac{7}{3}x) = 210$

$7x + 7x = 210$

$14x = 210$

$x = 15$

$y = \frac{7}{3}(15) = 35$

よって、$(x, y) = (15, 35)$

(7) x財の価格が4に変化した場合の最適消費点の計算

予算制約式：$4x + 3y = 168$

$\frac{y}{x} = \frac{4}{3}$

$y = \frac{4}{3}x$

$4x + 3(\frac{4}{3}x) = 168$

$4x + 4x = 168$

$8x = 168$

$x = 21$

$y = \frac{4}{3}(21) = 28$

よって、$(x, y) = (21, 28)$

3. 最終的な答え

(1) 315

(2) x財: 15単位, y財: 21単位

(3) 切片: 56, 傾き: -7/3

(4) MRS = y/x

(5) x財: 12単位, y財: 28単位

(6) x財: 15単位, y財: 35単位

(7) x財: 21単位, y財: 28単位