効用関数 $U(x, y) = xy$、x財の価格 $P_x = 7$、y財の価格 $P_y = 3$、所得 $I = 168$ である。以下の問いに答えよ。 (1) x財を9単位、y財を35単位消費したときの効用水準を求めよ。 (2) 所得を全て使い切り、かつ(1)と同じ効用水準となる財の組み合わせを求めよ。 (3) 予算制約線を図示すると、切片と傾きはどうなるか。 (4) 限界代替率を求めよ。

1. 問題の内容

効用関数 $U(x, y) = xy$、x財の価格 $P_x = 7$、y財の価格 $P_y = 3$、所得 $I = 168$ である。以下の問いに答えよ。

(1) x財を9単位、y財を35単位消費したときの効用水準を求めよ。

(2) 所得を全て使い切り、かつ(1)と同じ効用水準となる財の組み合わせを求めよ。

(3) 予算制約線を図示すると、切片と傾きはどうなるか。

(4) 限界代替率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 効用水準の計算

与えられたxとyの値を効用関数に代入する。

$U(9, 35) = 9 \times 35 = 315$

(2) 最適消費の計算

所得を全て使い切る制約式は $7x + 3y = 168$ である。

効用水準が315であるという制約式は $xy = 315$ である。

$y = \frac{315}{x}$ を $7x + 3y = 168$ に代入する。

$7x + 3 \times \frac{315}{x} = 168$

$7x^2 + 945 = 168x$

$7x^2 - 168x + 945 = 0$

$x^2 - 24x + 135 = 0$

$(x - 9)(x - 15) = 0$

$x = 9$ または $x = 15$

$x = 9$ のとき $y = \frac{315}{9} = 35$

$x = 15$ のとき $y = \frac{315}{15} = 21$

したがって、効用水準が315となるx,yの組み合わせは(9,35)と(15,21)。

(3) 予算制約線

予算制約線は $7x + 3y = 168$ で与えられる。

$y = -\frac{7}{3}x + \frac{168}{3}$

$y = -\frac{7}{3}x + 56$

y切片は $y = 56$, x切片は $x = \frac{168}{7} = 24$. 傾きは $-\frac{7}{3}$

(4) 限界代替率

限界代替率(MRS)は、$\frac{MU_x}{MU_y}$で与えられる。

$MU_x = \frac{\partial U}{\partial x} = y$

$MU_y = \frac{\partial U}{\partial y} = x$

$MRS = \frac{y}{x}$

3. 最終的な答え

(1) 315

(2) x財 15単位, y財 21単位

(3) 切片が 56, 傾きが -7/3 の直線となる。

(4) y財の限界効用 / x財の限界効用によって与えられるので、x, yを用いて表現すると y/x となる。