アイスクリーム市場における需要関数と供給関数が与えられています。 需要関数は $Q = -2P + 500$ 、供給関数は $Q = \frac{1}{2}P$ です。 このとき、市場均衡における均衡価格、均衡取引量、消費者余剰、生産者余剰を求めます。

1. 問題の内容

アイスクリーム市場における需要関数と供給関数が与えられています。

需要関数は $Q = -2P + 500$ 、供給関数は $Q = \frac{1}{2}P$ です。

このとき、市場均衡における均衡価格、均衡取引量、消費者余剰、生産者余剰を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 均衡価格を求める：

市場均衡では、需要量と供給量が等しくなります。

したがって、需要関数と供給関数を等しいとおいて、価格 $P$ について解きます。

$-2P + 500 = \frac{1}{2}P$

両辺に2を掛けると、

$-4P + 1000 = P$

$5P = 1000$

$P = \frac{1000}{5} = 200$

したがって、均衡価格は200です。

(2) 均衡取引量を求める：

均衡価格を需要関数または供給関数に代入して、均衡取引量 $Q$ を求めます。

供給関数に代入すると、

$Q = \frac{1}{2}P = \frac{1}{2} \times 200 = 100$

したがって、均衡取引量は100です。

(3) 消費者余剰を求める：

需要関数 $Q = -2P + 500$ を $P$ について解くと、

$2P = 500 - Q$

$P = -\frac{1}{2}Q + 250$

これは逆需要関数を表します。

数量が0の時の価格は、$P = 250$です。

消費者余剰は、需要曲線と均衡価格の間の面積で表されます。

これは三角形の面積として計算できます。

消費者余剰 = $\frac{1}{2} \times (250 - 200) \times 100 = \frac{1}{2} \times 50 \times 100 = 2500$

したがって、消費者余剰は2500です。

(4) 生産者余剰を求める：

供給関数 $Q = \frac{1}{2}P$ を $P$ について解くと、

$P = 2Q$

これは逆供給関数を表します。

数量が0の時の価格は0です。

生産者余剰は、供給曲線と均衡価格の間の面積で表されます。

これは三角形の面積として計算できます。

生産者余剰 = $\frac{1}{2} \times 200 \times 100 = 10000$

したがって、生産者余剰は10000です。

3. 最終的な答え

均衡価格: 200

均衡取引量: 100

消費者余剰: 2500

生産者余剰: 10000