中心の周りを回転できる静止した円板に $10 \ Nm$ のトルクを加えたところ、30秒後に角速度が $20 \ rad/s$ になった。この円板の慣性モーメントを求めよ。

1. 問題の内容

中心の周りを回転できる静止した円板に $10 \ Nm$ のトルクを加えたところ、30秒後に角速度が $20 \ rad/s$ になった。この円板の慣性モーメントを求めよ。

2. 解き方の手順

慣性モーメントを $I$、トルクを $\tau$、角加速度を $\alpha$ とすると、回転の運動方程式は以下のようになる。

$\tau = I \alpha$

角加速度 $\alpha$ は、角速度 $\omega$ の時間変化率であるから、

$\alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}$

この問題では、初期角速度 $\omega_0 = 0 \ rad/s$、最終角速度 $\omega = 20 \ rad/s$、時間変化 $\Delta t = 30 \ s$ であるから、

$\alpha = \frac{20 - 0}{30} = \frac{2}{3} \ rad/s^2$

したがって、慣性モーメント $I$ は、

$I = \frac{\tau}{\alpha} = \frac{10}{\frac{2}{3}} = 10 \times \frac{3}{2} = 15 \ kg \cdot m^2$

3. 最終的な答え

$15 \ kg \cdot m^2$