問題は、行列の計算、行列のランク、行列式の計算、行列の積を満たす行列の計算、逆行列の計算を行うものです。

1. 問題の内容

問題は、行列の計算、行列のランク、行列式の計算、行列の積を満たす行列の計算、逆行列の計算を行うものです。

2. 解き方の手順

[1]

まず、$AB$を計算します。

$AB = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 11 \\ 9 & 15 \end{pmatrix}$

次に、$BC$を計算します。

$BC = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 11 & 17 \end{pmatrix}$

したがって、$AB - 2BC = \begin{pmatrix} 1 & 11 \\ 9 & 15 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 11 & 17 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 11 \\ 9 & 15 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 22 & 34 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ -13 & -19 \end{pmatrix}$

$ABC = \begin{pmatrix} 1 & 11 \\ 9 & 15 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 15 \\ 33 & 51 \end{pmatrix}$

[2]

与えられた行列$A$は、$3 \times 2$の行列なので、3行2列です。

[3]

一つ目の行列式は、2行目が1行目の2倍になっているため、行列式は0になります。

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 6 \\ 3 & 6 & 7 \end{vmatrix} = 0$

二つ目の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 5 & 4 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 7 & 5 & 4 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 5 \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 5 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 7 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 7 & 5 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 7 & 5 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$

$= 5(1(4-4) - 0 + 1(10-0)) - 4(0 - 0 + 1(14-4)) + 3(0(5-0) - 1(7-2) + 1(0-5)) - 2(0(10-0) - 1(14-4) + 0)$

$= 5(10) - 4(10) + 3(-5-5) - 2(-10)$

$= 50 - 40 - 30 + 20 = 0$

[4]

$A \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$の逆行列を求めます。

$\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{6-4} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1/2 \\ -2 & 3/2 \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1/2 \\ -2 & 3/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 5/2 \\ -6 & 10/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 5/2 \\ -6 & 5 \end{pmatrix}$

[5]

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 \\ -2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

$A$の逆行列を求めます。

$\det(A) = 1(2+5) - 1(-4-0) -5(2-0) = 7 + 4 - 10 = 1$

余因子行列を計算します。

$C = \begin{pmatrix} 7 & 4 & 2 \\ -3 & 2 & 1 \\ 10 & 5 & 3 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T = \begin{pmatrix} 7 & -3 & 10 \\ 4 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

[1]

$AB - 2BC = \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ -13 & -19 \end{pmatrix}$

$ABC = \begin{pmatrix} 13 & 15 \\ 33 & 51 \end{pmatrix}$

[2]

3行2列

[3]

0, 0

[4]

$A = \begin{pmatrix} -3 & 5/2 \\ -6 & 5 \end{pmatrix}$

[5]

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -3 & 10 \\ 4 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$