数列$\{a_n\}$は等差数列、$\{b_n\}$は公比が正の等比数列であり、$a_1 = 1$, $b_1 = 3$, $a_2 + 2b_2 = 21$, $a_4 + 2b_4 = 169$を満たすとする。 (1) 一般項$a_n, b_n$を求めよ。 (2) $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{b_k}$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$は等差数列、$\{b_n\}$は公比が正の等比数列であり、$a_1 = 1$, $b_1 = 3$, $a_2 + 2b_2 = 21$, $a_4 + 2b_4 = 169$を満たすとする。

(1) 一般項$a_n, b_n$を求めよ。

(2) $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{b_k}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

数列$\{a_n\}$は等差数列なので、公差を$d$とすると、$a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + (n-1)d$である。

数列$\{b_n\}$は公比が正の等比数列なので、公比を$r$とすると、$b_n = b_1 r^{n-1} = 3r^{n-1}$である。

与えられた条件より、$a_2 + 2b_2 = 21$と$a_4 + 2b_4 = 169$である。

$a_2 = 1 + d$、$b_2 = 3r$、$a_4 = 1 + 3d$、$b_4 = 3r^3$であるから、

$1 + d + 2(3r) = 21$

$1 + 3d + 2(3r^3) = 169$

整理すると、

$d + 6r = 20$

$3d + 6r^3 = 168$

$d = 20 - 6r$を下の式に代入すると、

$3(20 - 6r) + 6r^3 = 168$

$60 - 18r + 6r^3 = 168$

$6r^3 - 18r - 108 = 0$

$r^3 - 3r - 18 = 0$

$(r - 3)(r^2 + 3r + 6) = 0$

$r^2 + 3r + 6 = 0$は実数解を持たないので、$r = 3$である。

$d = 20 - 6(3) = 20 - 18 = 2$

したがって、$a_n = 1 + (n-1)2 = 2n - 1$、$b_n = 3(3^{n-1}) = 3^n$である。

(2)

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{b_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{2k - 1}{3^k}$

$S_n = \frac{1}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{5}{3^3} + \dots + \frac{2n - 1}{3^n}$

$\frac{1}{3} S_n = \frac{1}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \frac{5}{3^4} + \dots + \frac{2n - 1}{3^{n+1}}$

辺々引くと、

$\frac{2}{3} S_n = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \dots + \frac{2}{3^n} - \frac{2n - 1}{3^{n+1}}$

$\frac{2}{3} S_n = \frac{1}{3} + \frac{\frac{2}{3^2} (1 - (\frac{1}{3})^{n-1})}{1 - \frac{1}{3}} - \frac{2n - 1}{3^{n+1}}$

$\frac{2}{3} S_n = \frac{1}{3} + \frac{\frac{2}{9} (1 - \frac{1}{3^{n-1}})}{\frac{2}{3}} - \frac{2n - 1}{3^{n+1}}$

$\frac{2}{3} S_n = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{3^{n-1}}) - \frac{2n - 1}{3^{n+1}}$

$\frac{2}{3} S_n = \frac{2}{3} - \frac{1}{3^n} - \frac{2n - 1}{3^{n+1}}$

$\frac{2}{3} S_n = \frac{2}{3} - \frac{3}{3^{n+1}} - \frac{2n - 1}{3^{n+1}} = \frac{2}{3} - \frac{2n + 2}{3^{n+1}}$

$S_n = 1 - \frac{n+1}{3^n}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n-1$, $b_n = 3^n$

(2) $S_n = 1 - \frac{n+1}{3^n}$