与えられた行列 $A$, $B$, $C$ に対して、以下の計算を行い、指定された箇所の値を求める。 - $AB - 2BC$ の $(1,1)$成分（ア）と $(2,2)$成分（イ）。 - $ABC$ の $(1,1)$成分（ウ）と $(2,1)$成分（エ）。 また、行列 $A$ の行数と列数を求め、与えられた行列式の値を計算し、指定された箇所を求める。 行列 $X = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$, $Y = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ に対して $AX = Y$ となる $A$ を求め、指定された箇所の値を求める。 さらに、行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 \\ -2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ の指定された成分を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$, $B$, $C$ に対して、以下の計算を行い、指定された箇所の値を求める。

- $AB - 2BC$ の $(1,1)$成分（ア）と $(2,2)$成分（イ）。

- $ABC$ の $(1,1)$成分（ウ）と $(2,1)$成分（エ）。

また、行列 $A$ の行数と列数を求め、与えられた行列式の値を計算し、指定された箇所を求める。

行列 $X = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$, $Y = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ に対して $AX = Y$ となる $A$ を求め、指定された箇所の値を求める。

さらに、行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 \\ -2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ の指定された成分を求める。

2. 解き方の手順

[1]

まず、$AB$ を計算する。

$AB = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 11 \\ 9 & 15 \end{pmatrix}$

次に、$2BC$ を計算する。

$2BC = 2 \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 11 & 17 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 22 & 34 \end{pmatrix}$

したがって、$AB - 2BC = \begin{pmatrix} 1 & 11 \\ 9 & 15 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 22 & 34 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ -13 & -19 \end{pmatrix}$

よって、アは3、イは-19。

次に、$ABC$ を計算する。

$ABC = (AB)C = \begin{pmatrix} 1 & 11 \\ 9 & 15 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 15 \\ 33 & 51 \end{pmatrix}$

よって、ウは15、エは33。

[2]

行列 $A$ は4行2列である。

よって、オは4、カは2。

[3]

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 6 \\ 3 & 6 & 7 \end{vmatrix} = 1(3 \cdot 7 - 6 \cdot 6) - 2(2 \cdot 7 - 6 \cdot 3) + 3(2 \cdot 6 - 3 \cdot 3) = 1(21-36) - 2(14-18) + 3(12-9) = -15 + 8 + 9 = 2$

よって、キは2。

$\begin{vmatrix} 5 & 4 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 7 & 5 & 4 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 3 & 2 \\ 7 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 4 & 3 \\ 7 & 5 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (5(4-4) - 3(7-2) + 2(14-4)) - (5(10-0) - 4(14-4) + 3(0-5)) = (0-15+20) - (50 - 40 -15) = 5 - (-5) = 10$

よって、クは10。

[4]

$A \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{6-4} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1/2 \\ -2 & 3/2 \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1/2 \\ -2 & 3/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-4 & -1/2+3 \\ 2-8 & -1+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 5/2 \\ -6 & 5 \end{pmatrix}$

よって、ケは-3、コは5。

[5]

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 \\ -2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

$det(A) = 1(2+5) - 1(-4-0) - 5(2-0) = 7+4-10 = 1$

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} 7 & -3 & 10 \\ 4 & 2 & -5 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

よって、サは7、シは2、スは2。

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: -19

ウ: 15

エ: 33

オ: 4

カ: 2

キ: 2

ク: 10

ケ: -3

コ: 5

サ: 7

シ: 2

ス: 2