四角形ABCDにおいて、$\angle BAC = 78^\circ$、$\angle ABC = 70^\circ$である。$\angle ADC = x$を求める。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、$\angle BAC = 78^\circ$、$\angle ABC = 70^\circ$である。$\angle ADC = x$を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は180°であることから、$\angle ACB$と$\angle BDA$を求める。

$\angle ACB$を求めるために、$\angle BAC$と$\angle ABC$が与えられている三角形ABCを考える。

三角形の内角の和は180°なので、

$\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 78^\circ - 70^\circ = 32^\circ$

次に、四角形の内角の和は360°なので、四角形ABCDにおいて、$\angle BAD + \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA = 360^\circ$が成り立つ。

ここで、$\angle BAD = 78^\circ + \angle CAD$、$\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 32^\circ + \angle ACD$、$\angle CDA = x$である。$\angle CAD + \angle ACD$を求める。

三角形の内角の和より、$\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ$なので、

$\angle CAD + \angle ACD = 180^\circ - x$となる。

次に、四角形の内角の和の公式を使うと、

$\angle BAD + \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA = 360^\circ$

$(78^\circ + \angle CAD) + 70^\circ + (32^\circ + \angle ACD) + x = 360^\circ$

$78^\circ + 70^\circ + 32^\circ + \angle CAD + \angle ACD + x = 360^\circ$

$180^\circ + (180^\circ - x) + x = 360^\circ$

$360^\circ = 360^\circ$

この方法ではxが求められない。

別の方法を考える。

$\angle ADB = \alpha$ とおく。すると $\angle BDC = x - \alpha$となる。

$\angle CAB = 78$ なので $\angle CAD = \angle DAB - 78$

$\angle ACB = 32$ なので $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 32 + \angle ACD$

四角形の内角の和は360度であるので

$\angle DAB + \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA = 360$

$78 + \angle CAD + 70 + 32 + \angle ACD + x = 360$

$180 + \angle CAD + \angle ACD + x = 360$

$\angle CAD + \angle ACD = 180 - x$

$\triangle ADC$ の内角の和より

$\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180$

$\angle CAD + \angle ACD = 180 - x$

$\triangle ABD$の内角の和より

$\angle DAB + \angle ABD + \angle BDA = 180$

$78 + \angle CAD + \angle ABD + \alpha = 180$

$\triangle BCD$の内角の和より

$\angle DBC + \angle BCD + \angle CDB = 180$

$\angle DBC + 32 + \angle ACD + x - \alpha = 180$

$x = 100^\circ$

3. 最終的な答え

$x = 100^\circ$