三角形ABCにおいて、余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ を証明する問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ を証明する問題です。

2. 解き方の手順

頂点Aから辺BCに垂線AHを下ろし、AHの長さを$h$、BHの長さを$x$とします。すると、CHの長さは$c-x$となります。

直角三角形ABHにおいて、ピタゴラスの定理より、

$c^2 = h^2 + x^2$

よって、$h^2 = c^2 - x^2$となります。

次に直角三角形ACHにおいて、ピタゴラスの定理より、

$b^2 = h^2 + (a-x)^2$

$b^2 = h^2 + a^2 - 2ax + x^2$

$h^2 = c^2 - x^2$を代入すると、

$b^2 = c^2 - x^2 + a^2 - 2ax + x^2$

$b^2 = c^2 + a^2 - 2ax$

$a^2 = b^2 + c^2 - 2ax$

ここで、$x = c \cos B$なので

$a^2 = b^2 + c^2 - 2ac \cos B$ となる。

同様に考えて, AからBCにおろした垂線の足をHとすると、

$x= c\cos B$,

$h^2 = c^2 - x^2$

$\cos B = \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$

$b^2 = h^2+(a-x)^2$

$b^2 = c^2 - (c \cos B)^2 + a^2 - 2a(c\cos B) + (c\cos B)^2$

$b^2 = c^2 + a^2 - 2ac \cos B$

$2ac \cos B = c^2+a^2-b^2$

$\cos B = \frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}$

したがって，$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$が成り立つ。

3. 最終的な答え

三角形ABCにおいて、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$が成り立つ。