四角形ABCDにおいて、$\angle ABC = 70^\circ$, $\angle BAC = 78^\circ$である。4点A, B, C, Dが同一円周上にあるとき、$\angle ADC = x$ を求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、$\angle ABC = 70^\circ$, $\angle BAC = 78^\circ$である。4点A, B, C, Dが同一円周上にあるとき、$\angle ADC = x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

4点A, B, C, Dが同一円周上にあるとき、円周角の定理より、$\angle ADC = \angle ABC$が成り立つ。

ただし、この問題の場合、$\angle ADC$と$\angle ABC$は同じ弧に対する円周角ではないため、$\angle ADC = \angle ABC$とするのではなく、$\angle BAC = \angle BDC$が成り立つことを利用する必要がある。

$\angle BDC = \angle BAC = 78^\circ$

また、三角形の内角の和は$180^\circ$であるから、$\triangle ABC$において、

$\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC$

$\angle ACB = 180^\circ - 78^\circ - 70^\circ$

$\angle ACB = 32^\circ$

四角形ABCDが円に内接するとき、対角の和は$180^\circ$になるので、

$\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$

$\angle ADC + 32^\circ = 180^\circ$

$\angle ADC = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ$

四角形の内角の和は360°であるため、$\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$

$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$が成り立つには$\angle ACB + \angle ADB$でなければならない。

$\angle ADB = x$とおくと、$x = \angle ACB = 32^\circ$となる。

3. 最終的な答え

32°