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与えられた行列 $A$ と $B$ に対して、以下の問題を解く。 (1) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める。 (2) 行列 $B$ の逆行列 $B^{-1}$ を求め、行列 $A$ との積 $AB^{-1}$ を求める。 ここで、 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}$ $B = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} \end{pmatrix}$

代数学行列逆行列行列式行列の積
2025/8/4

1. 問題の内容

与えられた行列 AA と BB に対して、以下の問題を解く。
(1) 行列 AA の逆行列 A−1A^{-1} を求める。
(2) 行列 BB の逆行列 B−1B^{-1} を求め、行列 AA との積 AB−1AB^{-1} を求める。
ここで、
A=(12−32−3132−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}
B=(1412−3412−34143412−14)B = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} \end{pmatrix}

2. 解き方の手順

(1) 行列 AA の逆行列 A−1A^{-1} を求める。
まず、AA の行列式を計算する。
det(A)=1((−3)(−1)−(1)(2))−2((2)(−1)−(1)(3))+(−3)((2)(2)−(−3)(3))=1(3−2)−2(−2−3)−3(4+9)=1(1)−2(−5)−3(13)=1+10−39=−28det(A) = 1((-3)(-1) - (1)(2)) - 2((2)(-1) - (1)(3)) + (-3)((2)(2) - (-3)(3)) = 1(3-2) - 2(-2-3) - 3(4+9) = 1(1) - 2(-5) - 3(13) = 1 + 10 - 39 = -28
次に、AA の余因子行列を計算する。
C11=(−3)(−1)−(1)(2)=3−2=1C_{11} = (-3)(-1) - (1)(2) = 3 - 2 = 1
C12=−(2(−1)−1(3))=−(−2−3)=5C_{12} = -(2(-1) - 1(3)) = -(-2-3) = 5
C13=(2)(2)−(−3)(3)=4+9=13C_{13} = (2)(2) - (-3)(3) = 4 + 9 = 13
C21=−(2(−1)−(−3)(2))=−(−2+6)=−4C_{21} = -(2(-1) - (-3)(2)) = -(-2+6) = -4
C22=(1)(−1)−(−3)(3)=−1+9=8C_{22} = (1)(-1) - (-3)(3) = -1 + 9 = 8
C23=−(1(2)−2(3))=−(2−6)=4C_{23} = -(1(2) - 2(3)) = -(2-6) = 4
C31=2(1)−(−3)(−3)=2−9=−7C_{31} = 2(1) - (-3)(-3) = 2 - 9 = -7
C32=−(1(1)−(−3)(2))=−(1+6)=−7C_{32} = -(1(1) - (-3)(2)) = -(1+6) = -7
C33=1(−3)−2(2)=−3−4=−7C_{33} = 1(-3) - 2(2) = -3 - 4 = -7
余因子行列は
C=(1513−484−7−7−7)C = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 13 \\ -4 & 8 & 4 \\ -7 & -7 & -7 \end{pmatrix}
転置余因子行列（または随伴行列）は
adj(A)=CT=(1−4−758−7134−7)adj(A) = C^T = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -7 \\ 5 & 8 & -7 \\ 13 & 4 & -7 \end{pmatrix}
A−1=1det(A)adj(A)=1−28(1−4−758−7134−7)=(−1281714−528−2714−1328−1714)A^{-1} = \frac{1}{det(A)} adj(A) = \frac{1}{-28} \begin{pmatrix} 1 & -4 & -7 \\ 5 & 8 & -7 \\ 13 & 4 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{28} & \frac{1}{7} & \frac{1}{4} \\ -\frac{5}{28} & -\frac{2}{7} & \frac{1}{4} \\ -\frac{13}{28} & -\frac{1}{7} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}
(2) 行列 BB の逆行列 B−1B^{-1} を求め、行列 AA との積 AB−1AB^{-1} を求める。
まず、BB の行列式を計算する。
det(B)=14((−34)(−14)−(14)(12))−12((12)(−14)−(14)(34))+(−34)((12)(12)−(−34)(34))=14(316−18)−12(−18−316)−34(14+916)=14(116)−12(−516)−34(1316)=164+532−3964=164+1064−3964=−2864=−716det(B) = \frac{1}{4}((-\frac{3}{4})(-\frac{1}{4}) - (\frac{1}{4})(\frac{1}{2})) - \frac{1}{2}((\frac{1}{2})(-\frac{1}{4}) - (\frac{1}{4})(\frac{3}{4})) + (-\frac{3}{4})((\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) - (-\frac{3}{4})(\frac{3}{4})) = \frac{1}{4}(\frac{3}{16} - \frac{1}{8}) - \frac{1}{2}(-\frac{1}{8} - \frac{3}{16}) - \frac{3}{4}(\frac{1}{4} + \frac{9}{16}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{16}) - \frac{1}{2}(-\frac{5}{16}) - \frac{3}{4}(\frac{13}{16}) = \frac{1}{64} + \frac{5}{32} - \frac{39}{64} = \frac{1}{64} + \frac{10}{64} - \frac{39}{64} = -\frac{28}{64} = -\frac{7}{16}
次に、BB の余因子行列を計算する。
C11=(−34)(−14)−(14)(12)=316−18=116C_{11} = (-\frac{3}{4})(-\frac{1}{4}) - (\frac{1}{4})(\frac{1}{2}) = \frac{3}{16} - \frac{1}{8} = \frac{1}{16}
C12=−(12(−14)−14(34))=−(−18−316)=516C_{12} = -(\frac{1}{2}(-\frac{1}{4}) - \frac{1}{4}(\frac{3}{4})) = -(-\frac{1}{8} - \frac{3}{16}) = \frac{5}{16}
C13=12(12)−(−34)(34)=14+916=1316C_{13} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}) - (-\frac{3}{4})(\frac{3}{4}) = \frac{1}{4} + \frac{9}{16} = \frac{13}{16}
C21=−(12(−14)−(−34)(12))=−(−18+38)=−28=−14C_{21} = -(\frac{1}{2}(-\frac{1}{4}) - (-\frac{3}{4})(\frac{1}{2})) = -(-\frac{1}{8} + \frac{3}{8}) = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}
C22=14(−14)−(−34)(34)=−116+916=816=12C_{22} = \frac{1}{4}(-\frac{1}{4}) - (-\frac{3}{4})(\frac{3}{4}) = -\frac{1}{16} + \frac{9}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}
C23=−(14(12)−12(34))=−(18−38)=28=14C_{23} = -(\frac{1}{4}(\frac{1}{2}) - \frac{1}{2}(\frac{3}{4})) = -(\frac{1}{8} - \frac{3}{8}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}
C31=12(14)−(−34)(−34)=18−916=−716C_{31} = \frac{1}{2}(\frac{1}{4}) - (-\frac{3}{4})(-\frac{3}{4}) = \frac{1}{8} - \frac{9}{16} = -\frac{7}{16}
C32=−(14(14)−(−34)(12))=−(116+38)=−716C_{32} = -(\frac{1}{4}(\frac{1}{4}) - (-\frac{3}{4})(\frac{1}{2})) = -(\frac{1}{16} + \frac{3}{8}) = -\frac{7}{16}
C33=14(−34)−(12)(12)=−316−14=−716C_{33} = \frac{1}{4}(-\frac{3}{4}) - (\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) = -\frac{3}{16} - \frac{1}{4} = -\frac{7}{16}
余因子行列は
C=(1165161316−141214−716−716−716)C = \begin{pmatrix} \frac{1}{16} & \frac{5}{16} & \frac{13}{16} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ -\frac{7}{16} & -\frac{7}{16} & -\frac{7}{16} \end{pmatrix}
転置余因子行列は
adj(B)=CT=(116−14−71651612−716131614−716)adj(B) = C^T = \begin{pmatrix} \frac{1}{16} & -\frac{1}{4} & -\frac{7}{16} \\ \frac{5}{16} & \frac{1}{2} & -\frac{7}{16} \\ \frac{13}{16} & \frac{1}{4} & -\frac{7}{16} \end{pmatrix}
B−1=1det(B)adj(B)=1−716(116−14−71651612−716131614−716)=−167(116−14−71651612−716131614−716)=(−17471−57−871−137−471)B^{-1} = \frac{1}{det(B)} adj(B) = \frac{1}{-\frac{7}{16}} \begin{pmatrix} \frac{1}{16} & -\frac{1}{4} & -\frac{7}{16} \\ \frac{5}{16} & \frac{1}{2} & -\frac{7}{16} \\ \frac{13}{16} & \frac{1}{4} & -\frac{7}{16} \end{pmatrix} = -\frac{16}{7} \begin{pmatrix} \frac{1}{16} & -\frac{1}{4} & -\frac{7}{16} \\ \frac{5}{16} & \frac{1}{2} & -\frac{7}{16} \\ \frac{13}{16} & \frac{1}{4} & -\frac{7}{16} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{7} & \frac{4}{7} & 1 \\ -\frac{5}{7} & -\frac{8}{7} & 1 \\ -\frac{13}{7} & -\frac{4}{7} & 1 \end{pmatrix}
AB−1=(12−32−3132−1)(−17471−57−871−137−471)=(−17−107+39747−167+1271+2−3−27+157−13787+247−472−3+1−37−107+137127−167+473+2−1)=(2870002870004)=(400040004)=4IAB^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{1}{7} & \frac{4}{7} & 1 \\ -\frac{5}{7} & -\frac{8}{7} & 1 \\ -\frac{13}{7} & -\frac{4}{7} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{7}-\frac{10}{7}+\frac{39}{7} & \frac{4}{7}-\frac{16}{7}+\frac{12}{7} & 1+2-3 \\ -\frac{2}{7}+\frac{15}{7}-\frac{13}{7} & \frac{8}{7}+\frac{24}{7}-\frac{4}{7} & 2-3+1 \\ -\frac{3}{7}-\frac{10}{7}+\frac{13}{7} & \frac{12}{7}-\frac{16}{7}+\frac{4}{7} & 3+2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{28}{7} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{28}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = 4I

3. 最終的な答え

(1) A−1=(−1281714−528−2714−1328−1714)A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{28} & \frac{1}{7} & \frac{1}{4} \\ -\frac{5}{28} & -\frac{2}{7} & \frac{1}{4} \\ -\frac{13}{28} & -\frac{1}{7} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}
(2) B−1=(−17471−57−871−137−471)B^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{7} & \frac{4}{7} & 1 \\ -\frac{5}{7} & -\frac{8}{7} & 1 \\ -\frac{13}{7} & -\frac{4}{7} & 1 \end{pmatrix}, AB−1=(400040004)AB^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}

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