$n \geq 3$ かつ $h > 0$ のとき、$\lim_{n \to \infty} n \left( -\frac{1}{1+h} \right)^n = 0$ となるかどうかの問題です。

1. 問題の内容

$n \geq 3$ かつ $h > 0$ のとき、$\lim_{n \to \infty} n \left( -\frac{1}{1+h} \right)^n = 0$ となるかどうかの問題です。

2. 解き方の手順

$h > 0$ なので、$1+h > 1$ です。したがって、$\frac{1}{1+h} < 1$ であり、$0 < \frac{1}{1+h} < 1$ が成り立ちます。

$\left| -\frac{1}{1+h} \right| = \frac{1}{1+h} < 1$ であるため、$\lim_{n \to \infty} \left( -\frac{1}{1+h} \right)^n = 0$ です。

ここで、$\frac{1}{1+h} = r$ とおくと、$0 < r < 1$ であり、$\lim_{n \to \infty} n (-r)^n$ を評価することになります。

$n$ が偶数のとき、$n (-r)^n = n r^n > 0$ であり、$n$ が奇数のとき、$n (-r)^n = -n r^n < 0$ です。いずれの場合も、$|nr^n| = n r^n$ を評価します。

$r = \frac{1}{1+h}$ に対して、$0 < r < 1$ です。

$n r^n = \frac{n}{(1+h)^n}$ を評価します。

指数関数の増加は多項式の増加よりも速いので、$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{(1+h)^n} = 0$ です。

より厳密には、$(1+h)^n$ を二項定理で展開すると、$n \geq 3$ のとき、

$(1+h)^n = 1 + nh + \frac{n(n-1)}{2}h^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} h^3 + \dots + h^n > \frac{n(n-1)(n-2)}{6} h^3$

となります。したがって、

$0 \le \frac{n}{(1+h)^n} < \frac{n}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}h^3} = \frac{6}{(n-1)(n-2)h^3}$

となり、$\lim_{n \to \infty} \frac{6}{(n-1)(n-2)h^3} = 0$ なので、$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{(1+h)^n} = 0$ となります。

したがって、$\lim_{n \to \infty} n \left( -\frac{1}{1+h} \right)^n = 0$ です。

3. 最終的な答え

はい、$\lim_{n \to \infty} n \left( -\frac{1}{1+h} \right)^n = 0$ となります。