図において、$BP:PC$ を求めよ。図には、三角形$ABC$とその内部に点$O$があり、線分$AO, BO, CO$がそれぞれ辺$BC, CA, AB$と点$P, Q, R$で交わっています。また、$AR=5, RB=4, BQ=4, QC=3, CP=?, PA=?$ が与えられています。

はい、承知いたしました。問題の解き方を説明します。

1. 問題の内容

図において、$BP:PC$ を求めよ。図には、三角形$ABC$とその内部に点$O$があり、線分$AO, BO, CO$がそれぞれ辺$BC, CA, AB$と点$P, Q, R$で交わっています。また、$AR=5, RB=4, BQ=4, QC=3, CP=?, PA=?$ が与えられています。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理を利用して解きます。チェバの定理とは、三角形$ABC$において、各頂点から対辺（またはその延長線）に引いた3本の直線が1点で交わるとき、以下の関係が成り立つという定理です。

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

この問題では、点$O$が三角形$ABC$の内部にあり、線分$AO, BO, CO$が1点で交わっています。したがって、チェバの定理を適用できます。

$AR = 5, RB = 4, CQ = 3, QA = 3$ であるので、これらの値をチェバの定理の式に代入します。

$\frac{5}{4} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{3}{3} = 1$

$\frac{5}{4} \cdot \frac{BP}{PC} = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{4}{5}$

3. 最終的な答え

$BP:PC = 4:5$