(1) $h > 0$ とし、$n$ を 3 以上の整数とするとき、不等式 $(1+h)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$ が成り立つことを示す問題です。 (2) $-1 < r < 1$ のとき、$\lim_{n\to\infty} n^2r^n = 0$ が成り立つことを示す問題です。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) $h > 0$ とし、$n$ を 3 以上の整数とするとき、不等式 $(1+h)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$ が成り立つことを示す問題です。

(2) $-1 < r < 1$ のとき、$\lim_{n\to\infty} n^2r^n = 0$ が成り立つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

(1) 不等式の証明

二項定理を用いて $(1+h)^n$ を展開します。

$(1+h)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} h^k = 1 + nh + \frac{n(n-1)}{2}h^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}h^3 + \cdots + h^n$

ここで、$h > 0$ であり、$n$ は 3 以上の整数であるため、上記の展開式の第4項に着目すると、

$(1+h)^n > \frac{n(n-1)(n-2)}{6}h^3 = \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$

したがって、与えられた不等式が成り立つことが示されました。

(2) 極限の証明

$-1 < r < 1$ なので、$|r| < 1$ です。

$a_n = n^2r^n$ とおきます。

$\lim_{n\to\infty} |n^2r^n| = \lim_{n\to\infty} n^2|r|^n$ を考えます。

ここで、$|r| = \frac{1}{1+h}$ とおくと、$h > 0$ となります。

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2|r|^{n+1}}{n^2|r|^n} = \frac{(n+1)^2}{n^2}|r| = \left(1+\frac{1}{n}\right)^2 |r|$

$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^2 |r| = |r| < 1$

したがって、比判定法より $\lim_{n\to\infty} n^2|r|^n = 0$ となります。

したがって、$\lim_{n\to\infty} |n^2r^n| = 0$ であるので、$\lim_{n\to\infty} n^2r^n = 0$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $(1+h)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$ は成り立つ。

(2) $\lim_{n\to\infty} n^2r^n = 0$ が成り立つ。