絶対値を含む次の不等式を解きます。 (1) $|x+1| > 3x+2$ (2) $|x^2 - 5x + 4| < 1$

1. 問題の内容

絶対値を含む次の不等式を解きます。

(1) $|x+1| > 3x+2$

(2) $|x^2 - 5x + 4| < 1$

2. 解き方の手順

(1) $|x+1| > 3x+2$

絶対値記号を外すために場合分けを行います。

(i) $x+1 \ge 0$ つまり $x \ge -1$ のとき

$x+1 > 3x+2$

$-2x > 1$

$x < -\frac{1}{2}$

$x \ge -1$ と $x < -\frac{1}{2}$ の共通範囲は $-1 \le x < -\frac{1}{2}$

(ii) $x+1 < 0$ つまり $x < -1$ のとき

$-(x+1) > 3x+2$

$-x-1 > 3x+2$

$-4x > 3$

$x < -\frac{3}{4}$

$x < -1$ と $x < -\frac{3}{4}$ の共通範囲は $x < -1$

(i), (ii) より、解は $x < -\frac{1}{2}$

(2) $|x^2 - 5x + 4| < 1$

絶対値記号を外すと

$-1 < x^2 - 5x + 4 < 1$

この不等式は次の2つの不等式に分けられます。

(i) $x^2 - 5x + 4 > -1$

$x^2 - 5x + 5 > 0$

解の公式より、$x = \frac{5 \pm \sqrt{25-20}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$

したがって、$x < \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$ または $x > \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$

(ii) $x^2 - 5x + 4 < 1$

$x^2 - 5x + 3 < 0$

解の公式より、$x = \frac{5 \pm \sqrt{25-12}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$

したがって、$\frac{5 - \sqrt{13}}{2} < x < \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$

(i), (ii) の共通範囲を求めます。

$\frac{5 - \sqrt{13}}{2} < x < \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$ または $\frac{5 + \sqrt{5}}{2} < x < \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x < -\frac{1}{2}$

(2) $\frac{5 - \sqrt{13}}{2} < x < \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$ または $\frac{5 + \sqrt{5}}{2} < x < \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$