$h > 0$ かつ $-1 < r < 1$ であるとき、$\lim_{n \to \infty} n^2 r^n = 0$ が成り立つことを示す際に、$r = -\frac{1}{1+h}$ を使って示すことができるか、という問題です。

1. 問題の内容

$h > 0$ かつ $-1 < r < 1$ であるとき、$\lim_{n \to \infty} n^2 r^n = 0$ が成り立つことを示す際に、$r = -\frac{1}{1+h}$ を使って示すことができるか、という問題です。

2. 解き方の手順

$r = -\frac{1}{1+h}$と置いたとき、$-1<r<0$となることを確認する。$h>0$なので、$1+h > 1$より$\frac{1}{1+h}<1$。したがって、$r = -\frac{1}{1+h}$ は $-1 < r < 0$ を満たします。$n^2 r^n$の絶対値を考えれば、$|n^2 r^n| = n^2 |r|^n$となります。ここで$|r| < 1$であることに注意します。$a_n = n^2|r|^n$とおくと、比判定法を用いて

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 |r|^{n+1}}{n^2 |r|^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{n^2} |r| = \lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})^2 |r| = \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^2 |r| = |r| < 1$

となります。したがって、$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} n^2|r|^n = 0$となります。よって、$\lim_{n \to \infty} n^2 r^n = 0$が成り立ちます。

3. 最終的な答え

はい、$r = -\frac{1}{1+h}$ を使って $\lim_{n \to \infty} n^2 r^n = 0$ を示すことができます。