直線 $y = 4x + 1$ と楕円 $4x^2 + y^2 = 4$ の交点によってできる弦の中点の座標と長さを求めます。

1. 問題の内容

直線 $y = 4x + 1$ と楕円 $4x^2 + y^2 = 4$ の交点によってできる弦の中点の座標と長さを求めます。

2. 解き方の手順

まず、直線 $y = 4x + 1$ を楕円 $4x^2 + y^2 = 4$ に代入して、交点の $x$ 座標を求めます。

$4x^2 + (4x + 1)^2 = 4$

$4x^2 + 16x^2 + 8x + 1 = 4$

$20x^2 + 8x - 3 = 0$

この2次方程式を解きます。解を $x_1, x_2$ とすると、解の公式より

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(20)(-3)}}{2(20)} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 240}}{40} = \frac{-8 \pm \sqrt{304}}{40} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{19}}{40} = \frac{-2 \pm \sqrt{19}}{10}$

よって、$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{19}}{10}$, $x_2 = \frac{-2 - \sqrt{19}}{10}$ となります。

弦の中点の $x$ 座標は、交点の $x$ 座標の平均なので、

$x_m = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{\frac{-2 + \sqrt{19}}{10} + \frac{-2 - \sqrt{19}}{10}}{2} = \frac{-4}{20} = -\frac{1}{5}$

次に、弦の中点の $y$ 座標を求めます。

$y_m = 4x_m + 1 = 4(-\frac{1}{5}) + 1 = -\frac{4}{5} + 1 = \frac{1}{5}$

したがって、弦の中点の座標は $(-\frac{1}{5}, \frac{1}{5})$ です。

最後に弦の長さを求めます。

$y_1 = 4x_1 + 1 = 4(\frac{-2 + \sqrt{19}}{10}) + 1 = \frac{-8 + 4\sqrt{19}}{10} + 1 = \frac{2 + 2\sqrt{19}}{5}$

$y_2 = 4x_2 + 1 = 4(\frac{-2 - \sqrt{19}}{10}) + 1 = \frac{-8 - 4\sqrt{19}}{10} + 1 = \frac{2 - 2\sqrt{19}}{5}$

弦の長さ $L$ は、

$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(\frac{-2 - \sqrt{19}}{10} - \frac{-2 + \sqrt{19}}{10})^2 + (\frac{2 - 2\sqrt{19}}{5} - \frac{2 + 2\sqrt{19}}{5})^2}$

$L = \sqrt{(\frac{-2\sqrt{19}}{10})^2 + (\frac{-4\sqrt{19}}{5})^2} = \sqrt{(\frac{-\sqrt{19}}{5})^2 + (\frac{-4\sqrt{19}}{5})^2} = \sqrt{\frac{19}{25} + \frac{16 \cdot 19}{25}} = \sqrt{\frac{17 \cdot 19}{25}} = \sqrt{\frac{323}{25}} = \frac{\sqrt{323}}{5}$

3. 最終的な答え

弦の中点の座標: $(-\frac{1}{5}, \frac{1}{5})$

弦の長さ: $\frac{\sqrt{323}}{5}$