与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 3点 $A(0, 0), B(-1, -3), C(1, 1)$ を通る2次関数を求めます。 (2) 2点 $A(-1, 0), B(0, 3)$ を通り、頂点の $x$ 座標が $x = -2$ である2次関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 3点 $A(0, 0), B(-1, -3), C(1, 1)$ を通る2次関数を求めます。

(2) 2点 $A(-1, 0), B(0, 3)$ を通り、頂点の $x$ 座標が $x = -2$ である2次関数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とします。

3点 $A(0, 0), B(-1, -3), C(1, 1)$ を通るので、以下の3つの式が成り立ちます。

$0 = a(0)^2 + b(0) + c$

$-3 = a(-1)^2 + b(-1) + c$

$1 = a(1)^2 + b(1) + c$

これらの式を解きます。

最初の式から $c = 0$ がわかります。

残りの2つの式は次のようになります。

$-3 = a - b$

$1 = a + b$

これらの式を足し合わせると、$2a = -2$ となり、$a = -1$ がわかります。

$a = -1$ を $1 = a + b$ に代入すると、$1 = -1 + b$ となり、$b = 2$ がわかります。

したがって、求める2次関数は $y = -x^2 + 2x$ です。

(2) 求める2次関数を $y = a(x + 2)^2 + q$ とします（頂点の $x$ 座標が -2 なので）。

2点 $A(-1, 0), B(0, 3)$ を通るので、以下の2つの式が成り立ちます。

$0 = a(-1 + 2)^2 + q$

$3 = a(0 + 2)^2 + q$

これらの式は次のようになります。

$0 = a + q$

$3 = 4a + q$

最初の式から $q = -a$ がわかります。

$q = -a$ を $3 = 4a + q$ に代入すると、$3 = 4a - a$ となり、$3 = 3a$ がわかります。

したがって、$a = 1$ となり、$q = -1$ がわかります。

したがって、求める2次関数は $y = (x + 2)^2 - 1$ です。

これを展開すると、$y = x^2 + 4x + 4 - 1 = x^2 + 4x + 3$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 + 2x$

(2) $y = x^2 + 4x + 3$