2次曲線 $4x^2 - 6xy - 4y^2 = -5$ の概形を求める問題です。

1. 問題の内容

2次曲線 $4x^2 - 6xy - 4y^2 = -5$ の概形を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた2次曲線は、一般に $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ の形で表されます。この場合、$A = 4$, $B = -6$, $C = -4$, $D = 0$, $E = 0$, $F = 5$ です。

まず、判別式 $B^2 - 4AC$ を計算して、円錐曲線がどのような種類のものか判断します。

$B^2 - 4AC = (-6)^2 - 4(4)(-4) = 36 + 64 = 100 > 0$

判別式が正であるため、この2次曲線は双曲線です。

次に、$xy$ の項を消去するために、座標軸の回転を行います。回転角 $\theta$ は、以下の式で与えられます。

$\tan(2\theta) = \frac{B}{A - C} = \frac{-6}{4 - (-4)} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$

$2\theta$ は第2象限または第4象限の角になります。$\tan(2\theta) = -\frac{3}{4}$ なので、$\cos(2\theta) = -\frac{4}{5}$ を満たすように $2\theta$ を選ぶことができます。

$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} = \frac{1 - (-\frac{4}{5})}{2} = \frac{9}{10}$

$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} = \frac{1 + (-\frac{4}{5})}{2} = \frac{1}{10}$

したがって、$\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{10}}$ と $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$ となります。

新しい座標 $(x', y')$ と元の座標 $(x, y)$ の関係は以下の通りです。

$x = x' \cos \theta - y' \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}x' - \frac{3}{\sqrt{10}}y'$

$y = x' \sin \theta + y' \cos \theta = \frac{3}{\sqrt{10}}x' + \frac{1}{\sqrt{10}}y'$

これを元の式に代入すると、

$4(\frac{1}{\sqrt{10}}x' - \frac{3}{\sqrt{10}}y')^2 - 6(\frac{1}{\sqrt{10}}x' - \frac{3}{\sqrt{10}}y')(\frac{3}{\sqrt{10}}x' + \frac{1}{\sqrt{10}}y') - 4(\frac{3}{\sqrt{10}}x' + \frac{1}{\sqrt{10}}y')^2 = -5$

整理すると、

$4(\frac{1}{10}x'^2 - \frac{6}{10}x'y' + \frac{9}{10}y'^2) - 6(\frac{3}{10}x'^2 - \frac{8}{10}x'y' - \frac{3}{10}y'^2) - 4(\frac{9}{10}x'^2 + \frac{6}{10}x'y' + \frac{1}{10}y'^2) = -5$

$(\frac{4}{10} - \frac{18}{10} - \frac{36}{10})x'^2 + (\frac{36}{10} + \frac{18}{10})y'^2 + (-\frac{24}{10} + \frac{48}{10} - \frac{24}{10})x'y' = -5$

$-\frac{50}{10}x'^2 + \frac{54}{10}y'^2 = -5$

$-5x'^2 + \frac{27}{5}y'^2 = -5$

$x'^2 - \frac{27}{25}y'^2 = 1$

この双曲線は、x'軸方向に開いた標準形です。

3. 最終的な答え

与えられた2次曲線は双曲線であり、$x'^2 - \frac{27}{25}y'^2 = 1$ となるように座標軸を回転させたものです。双曲線の概形を描くには、$x'$ 軸を主軸とし、漸近線を $y' = \pm \frac{5}{\sqrt{27}} x'$ とします。元の座標系に戻すには、回転角$\theta$を用いて描画します。