3次方程式 $x^3 - 4x^2 + 3x + 2 = 0$ を解き、解の形が $x = \text{キ}, \text{ク} \pm \sqrt{\text{ケ}}$ であるときの、キ, ク, ケ に入る値を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 4x^2 + 3x + 2 = 0$ を解き、解の形が $x = \text{キ}, \text{ク} \pm \sqrt{\text{ケ}}$ であるときの、キ, ク, ケ に入る値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、因数定理を用いて3次方程式の解を見つける。

$x=2$ を代入すると、

$2^3 - 4 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 + 2 = 8 - 16 + 6 + 2 = 0$

したがって、$x=2$ は方程式の解の一つである。

よって、$x-2$ は $x^3 - 4x^2 + 3x + 2$ の因数である。

割り算を実行して、

$x^3 - 4x^2 + 3x + 2 = (x-2)(x^2 - 2x - 1)$

したがって、方程式は $(x-2)(x^2 - 2x - 1) = 0$ となる。

$x=2$ または $x^2 - 2x - 1 = 0$

二次方程式 $x^2 - 2x - 1 = 0$ を解くために、解の公式を用いる。

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

したがって、方程式の解は $x = 2, 1 \pm \sqrt{2}$ となる。

求める形式は $x = \text{キ}, \text{ク} \pm \sqrt{\text{ケ}}$ であるから、

キ = 2, ク = 1, ケ = 2

3. 最終的な答え

キ = 2

ク = 1

ケ = 2