与えられた角を $\alpha + 2n\pi$ の形に変形し、動径を図示する。ただし、$0 \leq \alpha < 2\pi$、$n$ は整数とする。与えられた角は以下の3つである。 (1) $\frac{9\pi}{2}$ (2) $\frac{16\pi}{5}$ (3) $-\frac{7\pi}{3}$

1. 問題の内容

与えられた角を $\alpha + 2n\pi$ の形に変形し、動径を図示する。ただし、$0 \leq \alpha < 2\pi$、$n$ は整数とする。与えられた角は以下の3つである。

(1) $\frac{9\pi}{2}$

(2) $\frac{16\pi}{5}$

(3) $-\frac{7\pi}{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{9\pi}{2}$ の場合:

$\frac{9\pi}{2}$ を $2\pi$ で割ると、

$\frac{9\pi}{2} = 2\pi \times 2 + \frac{\pi}{2}$

したがって、$n = 2$, $\alpha = \frac{\pi}{2}$ となる。動径は $y$ 軸の正の部分。

(2) $\frac{16\pi}{5}$ の場合:

$\frac{16\pi}{5}$ を $2\pi = \frac{10\pi}{5}$ で割ると、

$\frac{16\pi}{5} = \frac{10\pi}{5} \times 1 + \frac{6\pi}{5}$

したがって、$n = 1$, $\alpha = \frac{6\pi}{5}$ となる。$\pi < \frac{6\pi}{5} < \frac{3\pi}{2}$ なので、動径は第3象限。

(3) $-\frac{7\pi}{3}$ の場合:

$-\frac{7\pi}{3}$ に $2\pi = \frac{6\pi}{3}$ を足していく。

$-\frac{7\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$

$-\frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$

したがって、$n = -1$, $\alpha = \frac{5\pi}{3}$ となる。$\frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{3} < 2\pi$ なので、動径は第4象限。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{9\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2(2)\pi$, $\alpha = \frac{\pi}{2}$

(2) $\frac{16\pi}{5} = \frac{6\pi}{5} + 2(1)\pi$, $\alpha = \frac{6\pi}{5}$

(3) $-\frac{7\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} + 2(-1)\pi$, $\alpha = \frac{5\pi}{3}$