関数 $y = 4x^2 - x - 9$ のグラフ上の点 $(-2, 9)$ における接線の式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 4x^2 - x - 9$ のグラフ上の点 $(-2, 9)$ における接線の式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の導関数を求めます。

$y = 4x^2 - x - 9$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 8x - 1$

次に、点 $(-2, 9)$ における接線の傾きを求めます。これは、導関数に $x = -2$ を代入することで求められます。

傾き $m = 8(-2) - 1 = -16 - 1 = -17$

したがって、接線の傾きは $-17$ です。

接線の式は、点 $(-2, 9)$ を通り、傾きが $-17$ の直線の方程式として求められます。

接線の式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。ここに、$x_1 = -2$, $y_1 = 9$, $m = -17$ を代入すると、

$y - 9 = -17(x - (-2))$

$y - 9 = -17(x + 2)$

$y - 9 = -17x - 34$

$y = -17x - 34 + 9$

$y = -17x - 25$

3. 最終的な答え

$y = -17x - 25$