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与えられた関数 $y = -3x^2 + 8x + 7$ のグラフ上の点 $(3,4)$ における接線の方程式を求めます。

解析学微分接線導関数関数のグラフ
2025/4/5

1. 問題の内容

与えられた関数 y=−3x2+8x+7y = -3x^2 + 8x + 7 のグラフ上の点 (3,4)(3,4) における接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

接線の方程式は、y=mx+cy = mx + c の形で表されます。ここで、mm は接線の傾き、cc は切片です。
(1) 傾き mm を求める:
まず、与えられた関数を微分して、導関数を求めます。
y=−3x2+8x+7y = -3x^2 + 8x + 7 の導関数は、
dydx=−6x+8\frac{dy}{dx} = -6x + 8
点 (3,4)(3,4) における接線の傾きは、導関数に x=3x=3 を代入することで得られます。
m=−6(3)+8=−18+8=−10m = -6(3) + 8 = -18 + 8 = -10
(2) 切片 cc を求める:
接線の方程式 y=mx+cy = mx + c に、点 (3,4)(3,4) と傾き m=−10m=-10 を代入します。
4=−10(3)+c4 = -10(3) + c
4=−30+c4 = -30 + c
c=4+30=34c = 4 + 30 = 34
(3) 接線の方程式を求める:
傾き m=−10m=-10 と切片 c=34c=34 を用いて、接線の方程式は次のようになります。
y=−10x+34y = -10x + 34

3. 最終的な答え

y=−10x+34y = -10x + 34

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