関数 $y = -2x^2 + 9x + 17$ のグラフ上の点 $(6, -1)$ における接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = -2x^2 + 9x + 17$ のグラフ上の点 $(6, -1)$ における接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $x$ で微分して、導関数を求めます。

$y' = \frac{dy}{dx} = -4x + 9$

次に、$x = 6$ における導関数の値を求めます。これは、点 $(6, -1)$ における接線の傾きを表します。

$y'(6) = -4(6) + 9 = -24 + 9 = -15$

したがって、接線の傾きは $-15$ です。

次に、点 $(6, -1)$ を通り、傾きが $-15$ の直線の方程式を求めます。点傾斜式を使うと、次のようになります。

$y - y_1 = m(x - x_1)$

ここで、$(x_1, y_1) = (6, -1)$ であり、$m = -15$ です。

したがって、

$y - (-1) = -15(x - 6)$

$y + 1 = -15x + 90$

$y = -15x + 90 - 1$

$y = -15x + 89$

3. 最終的な答え

$y = -15x + 89$