関数 $y = -6x^2 - 9x + 3$ のグラフ上の点 $(-2, -3)$ における接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = -6x^2 - 9x + 3$ のグラフ上の点 $(-2, -3)$ における接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

1. 関数 $y = -6x^2 - 9x + 3$ を微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$$y' = \frac{dy}{dx} = -12x - 9$$

2. 導関数に $x = -2$ を代入して、点 $(-2, -3)$ における接線の傾き $m$ を求めます。

$$m = y'(-2) = -12(-2) - 9 = 24 - 9 = 15$$

3. 点 $(-2, -3)$ を通り、傾きが $m = 15$ の直線の方程式を求めます。点傾斜式を使用すると、$y - y_1 = m(x - x_1)$ より、$y - (-3) = 15(x - (-2))$ となります。

4. この方程式を整理して、$y$ について解きます。

$$y + 3 = 15(x + 2)$$

$$y + 3 = 15x + 30$$

$$y = 15x + 30 - 3$$

$$y = 15x + 27$$

3. 最終的な答え

$y = 15x + 27$