関数 $y = x^2 - 2$ のグラフに点 (2, -7) から引いた接線の方程式を求める問題です。ただし、もう一つの接線の方程式が $y = 10x - 27$ であることがわかっています。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2$ のグラフに点 (2, -7) から引いた接線の方程式を求める問題です。ただし、もう一つの接線の方程式が $y = 10x - 27$ であることがわかっています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = x^2 - 2$ を微分して、接線の傾きを求めます。

$\frac{dy}{dx} = 2x$

次に、点 (2, -7) を通る直線の式を $y = kx + b$ とおきます。この直線が関数 $y = x^2 - 2$ と接するときの条件を求めるため、$x^2 - 2 = kx + b$ が重解を持つようにします。

式を整理すると、

$x^2 - kx - (2+b) = 0$

この二次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ です。つまり、

$D = k^2 - 4(1)(-2-b) = k^2 + 8 + 4b = 0$

したがって、$4b = -k^2 - 8$ となります。

また、点 (2, -7) が接線 $y=kx+b$ 上にあるので、 $-7 = 2k + b$ が成り立ちます。これを $b$ について解くと、$b = -7 - 2k$ となります。

$4b = -k^2 - 8$ に $b = -7 - 2k$ を代入して、$4(-7 - 2k) = -k^2 - 8$

$-28 - 8k = -k^2 - 8$

$k^2 - 8k - 20 = 0$

$(k - 10)(k + 2) = 0$

$k = 10, -2$

傾き $k=10$ の場合、接線の方程式は $y = 10x + b$ であり、$b = -7 - 2(10) = -27$ なので、$y = 10x - 27$ です。これはすでにわかっています。

傾き $k=-2$ の場合、接線の方程式は $y = -2x + b$ であり、$b = -7 - 2(-2) = -7 + 4 = -3$ なので、$y = -2x - 3$ です。

3. 最終的な答え

$y = -2x - 3$