関数 $y = x^2 + x$ のグラフに点 $(2, -3)$ から引いた接線の方程式を求めます。既に一つの接線の方程式 $y = -x - 1$ が与えられています。もう一つの接線を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + x$ のグラフに点 $(2, -3)$ から引いた接線の方程式を求めます。既に一つの接線の方程式 $y = -x - 1$ が与えられています。もう一つの接線を求めます。

2. 解き方の手順

まず、接線の傾きを $m$ とおきます。

接線の式は、点 $(2, -3)$ を通ることから、

$y = m(x - 2) - 3$

と表せます。

この接線と曲線 $y = x^2 + x$ が接するため、

$x^2 + x = m(x - 2) - 3$

$x^2 + x = mx - 2m - 3$

$x^2 + (1 - m)x + 2m + 3 = 0$

この2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ であることです。

$D = (1 - m)^2 - 4(2m + 3) = 0$

$1 - 2m + m^2 - 8m - 12 = 0$

$m^2 - 10m - 11 = 0$

$(m - 11)(m + 1) = 0$

$m = 11, -1$

$m = -1$ のとき、$y = -1(x - 2) - 3 = -x - 1$ (これは問題文に与えられている解です。)

$m = 11$ のとき、$y = 11(x - 2) - 3 = 11x - 22 - 3 = 11x - 25$

したがって、もう一つの接線の方程式は、$y = 11x - 25$ です。

3. 最終的な答え

$y = 11x - 25$