関数 $y = 2x^2 + x$ のグラフに点 $(-2, -12)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。片方の接線の方程式は $y = -19x - 50$ で与えられています。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + x$ のグラフに点 $(-2, -12)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。片方の接線の方程式は $y = -19x - 50$ で与えられています。

2. 解き方の手順

与えられた点 $(-2, -12)$ は関数 $y = 2x^2 + x$ 上の点ではありません。なぜなら、$2(-2)^2 + (-2) = 2(4) - 2 = 8 - 2 = 6 \neq -12$ だからです。そのため、点 $(-2, -12)$ はグラフ外の点であり、そこから接線を引くことになります。

接点を $(t, 2t^2 + t)$ とします。

$y = 2x^2 + x$ を微分すると $y' = 4x + 1$ となります。

したがって、接点 $(t, 2t^2 + t)$ における接線の傾きは $4t + 1$ となります。

接線の方程式は $y - (2t^2 + t) = (4t + 1)(x - t)$ と表せます。

この接線が点 $(-2, -12)$ を通るので、代入して

$-12 - (2t^2 + t) = (4t + 1)(-2 - t)$

$-12 - 2t^2 - t = -8t - 4t^2 - 2 - t$

$-12 - 2t^2 - t = -4t^2 - 9t - 2$

$2t^2 + 8t - 10 = 0$

$t^2 + 4t - 5 = 0$

$(t + 5)(t - 1) = 0$

$t = -5, 1$

$t = -5$ のとき、接点は $(-5, 2(-5)^2 + (-5)) = (-5, 50 - 5) = (-5, 45)$ となり、接線の傾きは $4(-5) + 1 = -20 + 1 = -19$ となります。

このときの接線の方程式は $y - 45 = -19(x + 5)$ であり、$y = -19x - 95 + 45 = -19x - 50$ となります。これは問題文に与えられた接線の方程式です。

$t = 1$ のとき、接点は $(1, 2(1)^2 + 1) = (1, 3)$ となり、接線の傾きは $4(1) + 1 = 5$ となります。

このときの接線の方程式は $y - 3 = 5(x - 1)$ であり、$y = 5x - 5 + 3 = 5x - 2$ となります。

3. 最終的な答え

$y = 5x - 2$