関数 $y = 5x^2 - 2x - 1$ のグラフの接線のうち、直線 $y = 8x + 9$ に平行なものを求めなさい。

1. 問題の内容

関数 $y = 5x^2 - 2x - 1$ のグラフの接線のうち、直線 $y = 8x + 9$ に平行なものを求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、直線 $y = 8x + 9$ に平行な直線の傾きは8である。

関数 $y = 5x^2 - 2x - 1$ を微分して、その傾きが8になるような $x$ の値を求める。

$y$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 10x - 2$

これが8に等しくなるような $x$ の値を求める。

$10x - 2 = 8$

$10x = 10$

$x = 1$

$x = 1$ のときの $y$ の値を求める。

$y = 5(1)^2 - 2(1) - 1 = 5 - 2 - 1 = 2$

接点の座標は $(1, 2)$ である。

求める接線は、傾きが8で $(1, 2)$ を通るので、その方程式は

$y - 2 = 8(x - 1)$

$y - 2 = 8x - 8$

$y = 8x - 6$

3. 最終的な答え

$y = 8x - 6$