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不定積分 $\int (-7x^3) dx$ を求めなさい。

解析学不定積分積分積分公式
2025/4/5

1. 問題の内容

不定積分 ∫(−7x3)dx\int (-7x^3) dx を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、定数倍の性質を使って、積分記号の外に定数 −7-7 を出します。
∫(−7x3)dx=−7∫x3dx\int (-7x^3) dx = -7 \int x^3 dx
次に、xnx^n の積分公式 ∫xndx=xn+1n+1+C\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C （n≠−1n \neq -1）を使って、x3x^3 の積分を計算します。ここで n=3n = 3 です。
∫x3dx=x3+13+1+C=x44+C\int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C
したがって、
−7∫x3dx=−7(x44+C)=−74x4+C′-7 \int x^3 dx = -7 \left(\frac{x^4}{4} + C\right) = -\frac{7}{4}x^4 + C'
ここで、C′=−7CC' = -7C は積分定数です。

3. 最終的な答え

−74x4+C-\frac{7}{4}x^4 + C

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