与えられた3x3行列 $B$ の行列式 $|B|$ を計算し、余因子行列 $\tilde{B}$ の各要素を求めよ。 $B = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 3 \\ -2 & 1 & 9 \\ 1 & -1 & -3 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3x3行列 $B$ の行列式 $|B|$ を計算し、余因子行列 $\tilde{B}$ の各要素を求めよ。

$B = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 3 \\ -2 & 1 & 9 \\ 1 & -1 & -3 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列式 $|B|$ を計算する。

$|B| = -1(1\times(-3) - 9\times(-1)) - 0 + 3((-2)\times(-1) - 1\times1) = -1(-3 + 9) + 3(2 - 1) = -1(6) + 3(1) = -6 + 3 = -3$

次に、余因子行列 $\tilde{B}$ の各要素を計算する。余因子 $C_{ij}$ は、行列 $B$ から $i$ 行と $j$ 列を取り除いた小行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ をかけたものである。

$C_{11} = (1)(-3) - (9)(-1) = -3 + 9 = 6$

$C_{12} = -((-2)(-3) - (9)(1)) = -(6 - 9) = -(-3) = 3$

$C_{13} = (-2)(-1) - (1)(1) = 2 - 1 = 1$

$C_{21} = -(0(-3) - 3(-1)) = -(0 + 3) = -3$

$C_{22} = (-1)(-3) - (3)(1) = 3 - 3 = 0$

$C_{23} = -((-1)(-1) - (0)(1)) = -(1 - 0) = -1$

$C_{31} = (0)(9) - (3)(1) = 0 - 3 = -3$

$C_{32} = -((-1)(9) - (3)(-2)) = -(-9 + 6) = -(-3) = 3$

$C_{33} = (-1)(1) - (0)(-2) = -1 - 0 = -1$

余因子行列 $\tilde{B}$ は余因子 $C_{ij}$ を並べた行列の転置である。

$\tilde{B} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 6 & 3 & 1 \\ -3 & 0 & -1 \\ -3 & 3 & -1 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 6 & -3 & -3 \\ 3 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

行列式 $|B| = -3$

余因子行列 $\tilde{B} = \begin{bmatrix} 6 & -3 & -3 \\ 3 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$

ア = 6

イ = -3

ウ = -3

エ = 3

オ = 0

カ = 3