$\alpha$ は第1象限の角、$\beta$ は第4象限の角である。$\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$、$\cos\beta = \frac{4}{5}$ のとき、$\sin(\alpha + \beta)$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\alpha$ は第1象限の角、$\beta$ は第4象限の角である。$\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$、$\cos\beta = \frac{4}{5}$ のとき、$\sin(\alpha + \beta)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos\alpha$ と $\sin\beta$ の値を計算する。

$\alpha$ は第1象限の角なので、$\cos\alpha > 0$ である。$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ より、

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{\sqrt{5}}{5})^2 = 1 - \frac{5}{25} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

したがって、$\cos\alpha = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\beta$ は第4象限の角なので、$\sin\beta < 0$ である。$\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$ より、

$\sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

したがって、$\sin\beta = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$

次に、$\sin(\alpha + \beta)$ の加法定理を用いる。

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

$= \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{4}{5} + \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot (-\frac{3}{5})$

$= \frac{4\sqrt{5}}{25} - \frac{6\sqrt{5}}{25}$

$= -\frac{2\sqrt{5}}{25}$

3. 最終的な答え

$-\frac{2\sqrt{5}}{25}$