$\alpha$ は第1象限の角、$\beta$ は第4象限の角であるとき、$\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$, $\cos\beta = \frac{4}{5}$ のとき、$\cos(\alpha+\beta)$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\alpha$ は第1象限の角、$\beta$ は第4象限の角であるとき、$\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$, $\cos\beta = \frac{4}{5}$ のとき、$\cos(\alpha+\beta)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos\alpha$ と $\sin\beta$ を求める。

$\alpha$ は第1象限の角なので、$\cos\alpha > 0$ である。

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ より、

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{\sqrt{5}}{5})^2 = 1 - \frac{5}{25} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

$\cos\alpha = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\beta$ は第4象限の角なので、$\sin\beta < 0$ である。

$\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$ より、

$\sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\sin\beta = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$

次に、$\cos(\alpha+\beta)$ を加法定理を用いて計算する。

$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

$\cos(\alpha+\beta) = (\frac{2\sqrt{5}}{5})(\frac{4}{5}) - (\frac{\sqrt{5}}{5})(-\frac{3}{5})$

$\cos(\alpha+\beta) = \frac{8\sqrt{5}}{25} + \frac{3\sqrt{5}}{25} = \frac{11\sqrt{5}}{25}$

3. 最終的な答え

$\cos(\alpha+\beta) = \frac{11\sqrt{5}}{25}$