$\alpha$ は第1象限の角、$\beta$ は第4象限の角であるとき、$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$、$\cos \beta = \frac{4}{5}$ のときの $\sin(\alpha - \beta)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\alpha$ は第1象限の角、$\beta$ は第4象限の角であるとき、$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$、$\cos \beta = \frac{4}{5}$ のときの $\sin(\alpha - \beta)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos \alpha$ と $\sin \beta$ の値を求めます。

$\alpha$ は第1象限の角なので、$\cos \alpha > 0$ です。$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{\sqrt{5}}{5})^2 = 1 - \frac{5}{25} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

$\cos \alpha = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\beta$ は第4象限の角なので、$\sin \beta < 0$ です。$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ より、

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\sin \beta = - \sqrt{\frac{9}{25}} = - \frac{3}{5}$

次に、$\sin(\alpha - \beta)$ を加法定理で展開します。

$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

それぞれの値を代入します。

$\sin(\alpha - \beta) = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{4}{5} - \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot (-\frac{3}{5})$

$= \frac{4\sqrt{5}}{25} + \frac{6\sqrt{5}}{25} = \frac{10\sqrt{5}}{25} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin(\alpha - \beta) = \frac{2\sqrt{5}}{5}$