与えられた不定積分 $\int (2x^3 + 6x^2 - 3x - 1) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int (2x^3 + 6x^2 - 3x - 1) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

不定積分は、各項ごとに積分することで計算できます。

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$、$C$は積分定数) の公式を利用します。

まず、積分を各項に分けます。

$\int (2x^3 + 6x^2 - 3x - 1) dx = \int 2x^3 dx + \int 6x^2 dx - \int 3x dx - \int 1 dx$

次に、それぞれの項を積分します。

$\int 2x^3 dx = 2 \int x^3 dx = 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{1}{2}x^4$

$\int 6x^2 dx = 6 \int x^2 dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3$

$\int 3x dx = 3 \int x dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3}{2}x^2$

$\int 1 dx = x$

したがって、

$\int (2x^3 + 6x^2 - 3x - 1) dx = \frac{1}{2}x^4 + 2x^3 - \frac{3}{2}x^2 - x + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}x^4 + 2x^3 - \frac{3}{2}x^2 - x + C$