次の不定積分を求めます。 $\int (-7x^3 - 9x^2 - 6x - 3) dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

$\int (-7x^3 - 9x^2 - 6x - 3) dx$

2. 解き方の手順

不定積分を計算します。各項を個別に積分します。

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$ 、$C$ は積分定数)

まず、各項を積分します。

$\int -7x^3 dx = -7 \int x^3 dx = -7 \cdot \frac{x^4}{4} + C_1 = -\frac{7}{4}x^4 + C_1$

$\int -9x^2 dx = -9 \int x^2 dx = -9 \cdot \frac{x^3}{3} + C_2 = -3x^3 + C_2$

$\int -6x dx = -6 \int x dx = -6 \cdot \frac{x^2}{2} + C_3 = -3x^2 + C_3$

$\int -3 dx = -3 \int 1 dx = -3x + C_4$

これらの結果を足し合わせ、積分定数を $C$ としてまとめます。

$\int (-7x^3 - 9x^2 - 6x - 3) dx = -\frac{7}{4}x^4 - 3x^3 - 3x^2 - 3x + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{7}{4}x^4 - 3x^3 - 3x^2 - 3x + C$